高中数学人教版新课标A选修1-13.4生活中的优化问题举例同步训练题

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课堂10分钟达标练

1.某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2(0<x<60),则当箱子的容积最大时,箱子底面边长为　(　　)

A.30   B.40   C.50   D.20

【解析】选B.V′(x)=60x-x2=0,x=0或x=40.

可见当x=40时,V(x)达到最大值.

2.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为　(　　)

A.13万件       B.11万件

C.9万件       D.7万件

【解析】选C.y′=-x2+81,令y′=0,解得x=9或x=-9(舍去),当0<x<9时,y′>0;当x>9时,y′<0.所以当x=9时,y取得最大值.

3.甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位:年)的函数关系如图所示.

　(　　)

现有下列四种说法:

①前四年该产品产量增长速度越来越快;

②前四年该产品产量增长速度越来越慢;

③第四年后该产品停止生产;

④第四年后该产品年产量保持不变.

其中说法正确的有　(　　)

A.①④   B.②④   C.①③   D.②③

【解析】选B.增长速度是产量对时间的导数,即图象中切线的斜率.由图象可知,②④是正确的.

4.把长60cm的铁丝围成矩形,当长为________cm,宽为________cm时,矩形面积最大.

【解析】设长为xcm,则宽为(30-x)cm,所以面积S=x(30-x)=-x2+30x,

由S′=-2x+30=0,得x=15,30-x=15.

答案:15　15

5.做一个无盖的圆柱形水桶,若需其体积是27π,且用料最省,则此时圆柱的底面半径为多少?

【解析】设底面半径为r,则高h=.

所以S=2πr·h+πr2=2πr·+πr2=+πr2,S′=2πr-,令S′=0,得r=3.

经验证,当r=3时,S最小.

因此,圆柱的底面半径为3时用料最省.

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