人教版新课标A选修1-2第一章 统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用同步测试题

 www.ks5u.com课时跟踪检测(一)　 回归分析的基本思想及其初步应用

一、选择题

1．(重庆高考)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为(　　)

A.＝0.4x＋2.3  B.＝2x－2.4

C.＝－2x＋9.5  D.＝－0.3x＋4.4

解析：选A　依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D.且直线必过点(3,3.5)，代入A、B得A正确．

2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：

建立的回归模型拟合效果最好的同学是(　　)

A．甲   B．乙

C．丙   D．丁

解析：选A　相关指数R2越大，表示回归模型拟合效果越好．

3．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71.则下列结论中不正确的是(　　)

A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心(，)

C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg

D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg

解析：选D　回归方程中x的系数为0.85＞0，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；

由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(，)，B正确；

依据回归方程中的含义可知，x每变化1个单位，相应变化约0.85个单位，C正确；

用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故D不正确．

4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－i)2，如下表：

哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高？(　　)

A．甲   B．乙

C．丙   D．丁

解析：选D　从题中的散点图上来看，丁同学的散点图中的点更加近似在一条直线附近；从残差平方和来看，丁同学的最小，说明拟合精度最高．

5．(福建高考)已知x与y之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)

A.>b′，>a′   B.>b′，<a′

C.<b′，>a′  D.<b′，<a′

解析：选C　由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y＝2x－2，b′＝2，a′＝－2.

而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，

可求得＝

＝＝，

＝－＝－×＝－，

所以<b′，>a′.

二、填空题

6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为_________．

解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.

答案：1

7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下表：

则y对x的线性回归方程为________________．

解析：设y对x的线性回归方程为＝x＋，

由表中数据得＝176，＝176，＝，

＝176－×176＝88，

所以y对x的线性回归方程为＝x＋88.

答案：＝x＋88

8．关于x与y有如下数据：

为了对x，y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲：＝6.5x＋17.5，乙：＝7x＋17，则____________(填“甲”或“乙”)模型拟合的效果更好．

解析：设甲模型的相关指数为R，

则R＝1－＝1－＝0.845；

设乙模型的相关指数为R，

则R＝1－＝0.82.

因为0.845＞0.82，即R＞R，

所以甲模型拟合效果更好．

答案：甲

三、解答题

9．(新课标全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：

(1)求y关于t的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.

解：(1)由所给数据计算得

＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，

＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，

(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，

(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，

＝＝＝0.5，

＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，

所求回归方程为＝0.5t＋2.3.

(2)由(1)知，＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．

将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．

10．在一段时间内，某种商品的价格x(元)和需求量y(件)之间的一组数据如下表：

求出y关于x的线性回归方程，并说明拟合效果的好坏．(参考数据：x＝1 660，xiyi＝3 992)

解：从作出的散点图(图略)可看出，这些点在一条直线附近，可用线性回归模型来拟合数据．

由数据可得＝18，＝45.4.

由计算公式得＝－2.35，＝－＝87.7.

故y关于x的线性回归方程为＝－2.35x＋87.7.

列表：

所以 (yi－i)2＝8.3， (yi－)2＝229.2.

相关指数R2＝1－≈0.964.

因为0.964很接近于1，所以该模型的拟合效果好．