2021学年第三章 数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念同步达标检测题

温馨提示：

    此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。

课时提升作业(八)

数系的扩充和复数的概念

(25分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值为　(　　)

A.1   B.±1   C.-1   D.-2

【解题指南】根据复数的概念,列方程求解.

【解析】选A.由x2-1=0得,x=±1,

当x=-1时,x2+3x+2=0,不合题意,

当x=1时,满足,故选A.

【一题多解】本题还可用以下方法求解:

选A.检验法:x=1时,原复数为6i,满足;

x=-1时,原复数为0,不满足,

当x=-2时,原复数为3,不满足.故选A.

2.(2015·银川高二检测)已知x，y∈R，且(x+y)+2i=4x+(x-y)i，则(　　)

A.   B.   C.  D.

【解析】选C.由复数相等的条件得解得

【补偿训练】已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.求实数x，y的值.

【解析】因为x，y是实数，所以

解得

3.(2015·临沂高二检测)若复数z1=sin2θ+icosθ，z2=cosθ+isinθ，z1=z2，则θ等于(　　)

A.kπ(k∈Z)       B.2kπ+(k∈Z)

C.2kπ±(k∈Z)     D.2kπ+(k∈Z)

【解题指南】由复数相等的定义，列方程组求解.

【解析】选D.由z1=z2，可知

所以cosθ=，sinθ=.

所以θ=+2kπ，k∈Z，故选D.

【补偿训练】1.已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R)，z2=2cosθ+(λ+3cosθ)i(λ∈R)，若z1=z2，则λ的取值范围是　　　　.

【解析】因为z1=z2，所以

所以λ=4-cosθ.

又因为-1≤cosθ≤1.

所以3≤4-cosθ≤5.

所以λ∈.

答案：

2.已知复数z1=x+2+(y+1)i，z2=2014+2015i，x，y∈R，若z1=z2，求x和y的值.

【解析】根据复数相等的充要条件a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a，b，c，d∈R)，可得解得

4.已知关于x的方程x2-6x+9+(a-x)i=0(a∈R)有实数根b,则实数ab的值为　

(　　)

A.1   B.3   C.-3   D.9

【解析】选D.将b代入题设方程,整理得(b2-6b+9)+(a-b)i=0,则b2-6b+9=0且a-b=0,解得a=b=3,ab的值为9.

5.下列说法正确的是(　　)

A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等

B.若a，b∈R且a>b，则ai>bi

C.如果复数x+yi是实数，则x=0，y=0

D.当z∈C时，z2≥0

【解析】选A.由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.故A正确；两个复数都是实数时才能比较大小，故B错误；复数x+yi∈R⇔故C错误；当z=i时，z2=-1<0，故D错误.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.已知a∈R,且(a-2)+(a2-a-2)i=0,a的值为　　　　.

【解析】因为a∈R,且(a-2)+(a2-a-2)i=0,

所以解得a=2.

答案:2

【误区警示】在某一复数等于0时,要保证实部、虚部均为0.

7.若2+ai=b-i,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a2+b2=　　　　.

【解析】因为2+ai=b-i(a,b∈R),

所以a=-1,b=2,所以a2+b2=5.

答案:5

8.给出下列说法:

①复数由实数、虚数、纯虚数构成;

②满足x2=-1的数x只有i;

③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数;

④复数m+ni的实部一定是m.

其中正确说法的个数为　　　　　.

【解析】③中b=0时bi=0不是纯虚数.故③正确.①中复数分为实数与虚数两大类;②中平方为-1的数为±i;④中m,n不一定为实数,故①②④错误.

答案:1

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.复数z=(m2-5m+6)+(m2+3m-10)i(m∈R),求满足下列条件的m的值.

(1)z是实数.(2)z是虚数.(3)z是纯虚数.

【解析】(1)若z是实数,

则m2+3m-10=0,

解得m=2或m=-5.

(2)若z是虚数,

则m2+3m-10≠0,

解得m≠2且m≠-5.

(3)若z是纯虚数,则解得m=3.

10.集合M={1，2，(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i}，N={3，10}，且M∩N≠∅，求实数m的值.

【解题指南】通过M∩N≠∅可得出(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i的值，再利用复数相等的充要条件求解.

【解析】因为M∩N≠∅，所以(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=3或

(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=10，

由(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=3得

解得m=-2.

由(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=10得

解得m=-3.

所以m的值为-2或-3.

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.(2015·唐山高二检测)已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3},M∩P={3},则实数m的值为　(　　)

A.-1   B.-1或4   C.6   D.6或-1

【解题指南】应从M∩P={3}来寻找解题的突破口.

【解析】选A.因为M∩P={3},所以(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.

所以所以m=-1,故选A.

2.复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)是纯虚数,则有　(　　)

A.a≠0      B.a≠2

C.a≠-1且a≠2    D.a=-1

【解析】选D.只需即a=-1时,复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)为纯虚数.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,则k=　　　　　.

【解析】因为z<0,所以z∈R,

故虚部k2-5k+6=0,(k-2)(k-3)=0,

所以k=2或k=3,但k=3时,z=0,故k=2.

答案:2

【补偿训练】若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1，则实数x的值是　　　　.

【解析】因为log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1，所以解得x=-2.

答案：-2

4.复数z=cos+sini,且θ∈,若z是实数,则θ的值为　　　　　;若z为纯虚数,则θ的值为　　　　　.

【解析】z=cos+sini=-sinθ+icosθ,

当z是实数时,cosθ=0,

因为θ∈,所以θ=±;

当z为纯虚数时

又θ∈,所以θ=0.

答案:±　0

三、解答题(每小题10分，共20分)

5.(2015·天津高二检测)已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R),试求实数a分别取什么值时,z分别为:

(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.

【解题指南】根据复数z为实数、虚数、纯虚数的条件,分别求出相应的a的值.

【解析】(1)当z为实数时,

则有所以

所以a=6,即a=6时,z为实数.

(2)当z为虚数时,

则有a2-5a-6≠0且有意义,

所以a≠-1且a≠6且a≠±1,

所以a≠±1且a≠6.

所以当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z为虚数.

(3)当z为纯虚数时,有

所以

所以不存在实数a使z为纯虚数.

【误区警示】解答本题注意使式子有意义的条件限制,防止在(1)(2)问解答中因忽视a≠±1而导致错误.

6.设z1=m2+1+(m2+m-2)i,z2=4m+2+(m2-5m+4)i,若z1<z2,求实数m的取值范围.

【解析】由于z1<z2,m∈R,

所以z1∈R且z2∈R,

当z1∈R时,m2+m-2=0,m=1或m=-2.

当z2∈R时,m2-5m+4=0,m=1或m=4,

所以当m=1时,z1=2,z2=6,满足z1<z2.

所以z1<z2时,实数m的取值为m=1.

【补偿训练】如果m为实数，z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i，z2=4m+2+(m3-5m2+4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1<z2的m值的集合又是什么？

【解题指南】由于z1，z2可以比较大小，故其一定是实数.

【解析】z1>z2或z1<z2，可知z1∈R，z2∈R，

所以当z1>z2时，

有

由①②两个式子解得m=0，不能满足最后一个式子，所以使z1>z2的m的值的集合为空集.

由上面可知，当m=0时，m2+1<4m+2，

所以使z1<z2的m值的集合为{0}.

关闭Word文档返回原板块