高中数学人教版新课标A选修2-11.1命题及其关系同步训练题

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是(　　)

A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数

B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数

C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数

D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数

【解析】　命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”．

【答案】　A

2．(2016·济宁高二检测)命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是(　　)

A．0　　 B．1　　　

C．2　　　 D．3

【解析】　逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.

【答案】　C

3．(2016·南宁高二检测)已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是(　　)

A．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”

B．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”

C．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”

D．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”

【解析】　逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.

【答案】　B

4．(2016·潍坊高二期末)命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的逆否命题是(　　)

A．若x≠3，则x2－2x－3≠0

B．若x＝3，则x2－2x－3≠0

C．若x2－2x－3≠0，则x≠3

D．若x2－2x－3≠0，则x＝3

【解析】　其逆否命题为“若x2－2x－3≠0，则x≠3”．故选C.

【答案】　C

5．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

【答案】　A

二、填空题

6．(2016·三门峡高二期中)命题“若x>2，则x2>4”的逆命题是____________. 【导学号：18490009】

【解析】　原命题的逆命题为“若x2>4，则x>2”．

【答案】　若x2>4，则x>2

7．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题是________．

【解析】　否定条件与结论，得否命题“若a≤b，则2a≤2b－1”．

【答案】　若a≤b，则2a≤2b－1

8．在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．

【解析】　①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．

【答案】　②

三、解答题

9．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

【解】　逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；

否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；

逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.

原命题是假命题．

逆否命题也是假命题．

逆命题是假命题．

否命题也是假命题．

10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．

【解】　(1)命题p的否命题为“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．

(2)命题p的否命题是真命题．

证明如下：

∵ac＜0，

∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．

∴该命题是真命题．

[能力提升]

1．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是(　　)

A．若a·b≠0，则a不垂直于b

B．若a⊥b，则a·b＝0

C．若a不垂直于b，则a·b≠0

D．若a·b≠0，则a⊥b

【解析】　原命题与其逆否命题为等价命题．

【答案】　C

2．(2016·福州期末)命题“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”的逆否命题是(　　)

A．若x，y都不是偶数，则x＋y不是偶数

B．若x，y不都是偶数，则x＋y是偶数

C．若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数

D．若x，y都不是偶数，则x＋y是偶数

【解析】　“x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”．故选C.

【答案】　C

3．下列命题中________为真命题(填上所有正确命题的序号)．

①若A∩B＝A，则AB；②“若x＝y＝0，则x2＋y2＝0”的逆命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．

【解析】　①错误，若A∩B＝A，则A⊆B；②正确，它的逆命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”为真命题；③错误，它的逆命题为“相似三角形是全等三角形”为假命题；④正确，因为原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．

【答案】　②④

4．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假. 【导学号：18490010】

(1)等高的两个三角形是全等三角形；

(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．

【解】　(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；

否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．

(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；

逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题.