高中数学人教版新课标A选修2-12.3双曲线同步达标检测题

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围为(　　)

A．－2＜m＜2　　　　 B．m＞0

C．m≥0 D．|m|≥2

【解析】　∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.

【答案】　A

2．设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　)

A.－＝1 B.－＝1

C.－＝1(x≤－3)  D.－＝1(x≥3)

【解析】　由题意知，轨迹应为以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，

∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．

【答案】　D

3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为(　　)

A.－＝1 B.－＝1

C.－y2＝1 D．x2－＝1

【解析】　由

⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，

即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C.

【答案】　C

4．已知椭圆方程＋＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为(　　)

A. B.

C．2 D．3

【解析】　椭圆的焦点为(1，0)，顶点为(2，0)，即双曲线中a＝1，c＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝2.

【答案】　C

5．若k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　)

A．焦点在x轴上的椭圆

B．焦点在y轴上的椭圆

C．焦点在y轴上的双曲线

D．焦点在x轴上的双曲线

【解析】　原方程化为标准方程为＋＝1，

∵k＞1，∴1－k＜0，k2－1＞0，

∴此曲线表示焦点在y轴上的双曲线．

【答案】　C

二、填空题

6．设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________．

【解析】　由双曲线的标准方程得a＝3，b＝4.

于是c＝＝5.

(1)若点P在双曲线的左支上，

则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝6＋|PF1|＝16；

(2)若点P在双曲线的右支上，

则|PF1|－|PF2|＝6，

∴|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.

综上，|PF2|＝16或4.

【答案】　16或4

7．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的________．(填序号)

①2；②－1；③4；④－3.

【解析】　设双曲线的方程为－＝1，则c＝3，∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，∴－<m<，且m≠，∴①②满足条件．

【答案】　①②

8．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于________. 【导学号：18490058】

【解析】　由方程－＝1知a2＝16，b2＝9，即a＝4，c＝＝5.

在△ABP中，利用正弦定理和双曲线的定义知，＝＝＝＝.

【答案】　

三、解答题

9．求与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2，1)的双曲线的方程．

【解】　∵双曲线－＝1的焦点在x轴上．

依题意，设所求双曲线为－＝1(a>0，b>0)．

又两曲线有相同的焦点，

∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6.  ①

又点P(2，1)在双曲线－＝1上，

∴－＝1.  ②

由①②联立得a2＝b2＝3，

故所求双曲线方程为－＝1.

10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．

【解】　(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；

(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；

(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；

(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；

(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．

[能力提升]

1．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　)

A．1　　 B.　　　

C．2　　　 D．3

【解析】　由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上，且

a>0.∵4－a2＝a＋2，∴a2＋a－2＝0，

∴a＝1或a＝－2(舍去)．故选A.

【答案】　A

2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)

A．2 B．4

C．6 D．8

【解析】　不妨设P是双曲线右支上一点，

在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，

则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2，

∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，

∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·，

∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，

∴8＝4＋|PF1||PF2|，

∴|PF1||PF2|＝4.故选B.

【答案】　B

3．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________．

【解析】　设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，又|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.

【答案】　－1

4．已知双曲线－＝1的两焦点为F1，F2.

(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求点M到x轴的距离； 【导学号：18490059】

(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．

【解】　(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，

则MF1⊥MF2，

设|MF1|＝m，|MF2|＝n，

由双曲线定义知，m－n＝2a＝8， ①

又m2＋n2＝(2c)2＝80，  ②

由①②得m·n＝8，

∴mn＝4＝|F1F2|·h，∴h＝.

(2)设所求双曲线C的方程为

－＝1(－4<λ<16)，

由于双曲线C过点(3，2)，

所以－＝1，

解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．

∴所求双曲线C的方程为－＝1.