人教版新课标A选修2-12.2椭圆第1课时巩固练习

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．(2016·人大附中月考)焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是(　　)

A.＋＝1　　　 　B.＋＝1

C.＋＝1    D.＋＝1

【解析】　由题意知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16，又e＝＝，解得c＝3，a＝5，又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.

【答案】　C

2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为(　　)

A. B.

C.  D.

【解析】　由题意知a＝2c，∴e＝＝＝.

【答案】　A

3．曲线＋＝1与＋＝1(0<k<9)的关系是(　　)

A．有相等的焦距，相同的焦点

B．有相等的焦距，不同的焦点

C．有不等的焦距，不同的焦点

D．以上都不对

【解析】　曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.

【答案】　B

4．已知O是坐标原点，F是椭圆＋＝1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos∠MON的值为(　　)

A. B．－

C. D．－

【解析】　由题意，a2＝4，b2＝3，

故c＝＝＝1.

不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以＋＝1，

解得y0＝±，

所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝＝.

由余弦定理知cos∠MON＝＝＝－.

【答案】　B

5．如图2­2­4，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为(　　)

图2­2­4

A. B.

C.  D.

【答案】　D

二、填空题

6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________. 【导学号：18490048】

【解析】　如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.

【答案】　

7．设AB是椭圆＋＝1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB·kOM＝________．

【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点坐标M，得kAB＝，

kOM＝，kAB·kOM＝，

b2x＋a2y＝a2b2，b2x＋a2y＝a2b2，

得b2(x－x)＋a2(y－y)＝0，即＝－.

【答案】　－

8．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．

【解析】　因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.

【答案】　[1，2]

三、解答题

9．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；

(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．

【解】　(1)∵c＝＝，

∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．

设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．

∵e＝＝，c＝，

∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，

∴所求椭圆的方程为＋＝1.

(2)因为椭圆的焦点在x轴上，

所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，

∵2c＝8，∴c＝4，

又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.

∴椭圆的方程为＋＝1.

10．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率．

【解】　不妨设A(a，0)，点P在第一象限内，由题意知，点P的横坐标是，设P，由点P在椭圆上，得＋＝1，y2＝b2，即P，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝＝，所以a＝3b，所以e＝＝＝＝.

[能力提升]

1．(2016·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(　　)

A. B.－1

C．2－  D.

【解析】　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意得|PF2|＝＝2c，

即＝2c，

得离心率e＝－1，故选B.

【答案】　B

2．“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】　椭圆＋＝1的离心率为，

当0<m<4时，＝，得m＝3，

当m>4时，＝，得m＝，

即“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的充分不必要条件．

【答案】　A

3．(2016·济南历城高二期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是________．

【解析】　由＝2，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c，

则离心率e＝.

【答案】　

4．已知点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.

(1)求点P的坐标； 【导学号：18490049】

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

【解】　(1)由已知可得A(－6，0)，B(6，0)，F(4，0)，

设点P的坐标是(x，y)，

则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．

由已知得

则2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6.

由于y>0，所以只能取x＝，于是y＝.

所以点P的坐标是.

(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.

设点M的坐标是(m，0)，

则M到直线AP的距离是，又B(6，0)，

于是＝|m－6|，

又－6≤m≤6，解得m＝2，

设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有

d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2

＝＋15，

由于－6≤x≤6，所以当x＝时，d取最小值为.