高中数学人教版新课标A选修2-12.4抛物线练习

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于(　　)

A．2　　 B．1　　　

C．4　　　 D．8

【解析】　抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线的距离等于4，故选C.

【答案】　C

2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(　　)

A．2 B．4 

C．6 D．4

【解析】　据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1，0)，|PM|＝|FM|，得1＋＝，得m＝2，∴等边三角形的边长为4，其面积为4，故选D.

【答案】　D

3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1 B．x＝－1

C．x＝2 D．x＝－2

【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得

①－②得，

(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)．

又∵y1＋y2＝4，∴＝＝＝k＝1，∴p＝2.

∴所求抛物线的准线方程为x＝－1.

【答案】　B

4．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　)

A. B．6 

C．12 D．7

【解析】　焦点F的坐标为，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝，

即y＝x－，代入y2＝3x，

得x2－x＋＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，

所以|AB|＝x1＋x2＋＝＋＝12，故选C.

【答案】　C

5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于(　　)

A．10 B．8 

C．6 D．4

【解析】　由题意知p＝2，|AB|＝x1＋x2＋p＝8.故选B.

【答案】　B

二、填空题

6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．

【解析】　设抛物线上点的坐标为(x，±)，此点到准线的距离为x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴y＝±，∴此点坐标为.

【答案】　

7．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．

【解析】　当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.

【答案】　0或1

8．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________. 【导学号：18490074】

【解析】　设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.

过点P(－1，0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．

由

得ky2－4y＋4k＝0.

当k＝0时，显然不符合题意；

当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，

化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

【答案】　(－∞，－1)∪(1，＋∞)

三、解答题

9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．

【解】　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，

设A(x0，y0)，由题知M.

∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，

∵|AM|＝，

∴x＋＝17，

∴x＝8，代入方程x＝2py0，

得8＝2p，解得p＝2或p＝4.

∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.

10．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．

(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；

(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．

【解】　(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝.

又F，所以直线l的方程为y＝.

联立

消去y得x2－5x＋＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，

而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，

所以|AB|＝5＋3＝8.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知

|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.

又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离为3＋＝.

[能力提升]

1．(2016·菏泽期末)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若∈(0，1)，则＝(　　)

A. B. 

C.  D.

【解析】　因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝，故选C.

【答案】　C

2．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝(　　)

A. B. 

C. D．2

【解析】　由题意可知抛物线的焦点坐标为(2，0)，则过焦点且斜率为k的直线的方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16，因为·＝0，所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2，故选D.

【答案】　D

3．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．

【解析】　由于x2＝2py(p>0)的准线为y＝－，由

解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为

A，B，所以AB＝2.

由△ABF为等边三角形，得AB＝p，解得p＝6.

【答案】　6

4．已知抛物线x＝－y2与过点(－1，0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积等于时，求k的值. 【导学号：18490075】

【解】　过点(－1，0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，

由方程组

消去x，整理得ky2＋y－k＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝－1.

设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(－1，0)．

∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|，

∴S△OAB＝＝＝，

解得k＝－或.