3.1.2　复数的几何意义

[学习目标]

1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．

2．掌握实轴、虚轴、模等概念．

3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．

[知识链接]

1．下列命题中不正确的有________．

(1)实数可以判定相等或不相等；

(2)不相等的实数可以比较大小；

(3)实数可以用数轴上的点表示；

(4)实数可以进行四则运算；

(5)负实数能进行开偶次方根运算；

答案　(5)

2．实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴．由复数的定义可知任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，那么类比一下实数，能否找到用来表示复数的几何模型呢？

答案　由于复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型．

[预习导引]

1．复数的几何意义

(1)复平面的定义

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

(2)复数与点、向量间的对应

①复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)；

②复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量＝(a，b)．

2．复数的模

复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝.

要点一　复数与复平面内的点

例1　在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．

解　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.

(1)由题意得m2－2m－8＝0.

解得m＝－2或m＝4.

(2)由题意，，∴2<m<4.

(3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，

∴2<m<4或－5<m<－2.

(4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝.

规律方法　复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．

跟踪演练1　实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i

(1)对应的点在x轴上方；

(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．

解　(1)由m2－2m－15>0，得m<－3，或m>5，所以当m<－3，或m>5时，复数z对应的点在x轴上方．

(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，

得m＝1，或m＝－，所以当m＝1，或m＝－时，

复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上．

要点二　复数的模及其应用

例2　已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．

解　法一　∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝，

由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－，)．

法二　利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，

由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，

所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．

由图可知：－<a<.

规律方法　利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题．

跟踪演练2　求复数z1＝3＋4i，z2＝－－i的模，并比较它们的大小．

解　|z1|＝＝5，|z2|＝＝.∵5>，∴|z1|>|z2|.

要点三　复数的模的几何意义

例3　设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

(1)|z|＝2；　(2)|z|≤3.

解　法一　(1)∵复数z的模等于2，这表明向量的长度等于2，即点Z到原点的距离等于2，因此满足条件|z|＝2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆．

(2)满足条件|z|≤3的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆及其内部．

法二　(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，(1)|z|＝2，∴x2＋y2＝4，

∴点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．

(2)|z|≤3，∴x2＋y2≤9.

∴点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．

规律方法　例3的法一是根据|z|表示点Z和原点间的距离，直接判定图形形状．

法二是利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法．

跟踪演练3　已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z所对应的点的轨迹是什么？

解　∵a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，

－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，

∴z的实部为正数，虚部为负数，

∴复数z所对应的点在第四象限．

设z＝x＋yi(x，y∈R)，则

消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)，

∴复数z对应点的轨迹是一条射线，

其方程为y＝－x＋2(x≥3)．

1．在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　B

解析　∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限．

2．当0<m<1时，z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　D

解析　∵0<m<1，∴m＋1>0，－1<m－1<0，故对应的点在第四象限内．

3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为(　　)

A．－2－i  B．－2＋i

C．1＋2i  D．－1＋2i

答案　B

解析　∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量对应的复数为－2＋i.

4．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．

答案　9

解析　∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，

∴m－3＝2，解之得m＝9.

1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．

2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.

一、基础达标

1．复数z＝＋i3对应的点在复平面第几象限(　　)

A．一  B．二

C．三  D．四

答案　D

解析　由i2＝－1，z＝－i，对应点坐标为(，－1)．

2．当<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　D

解析　复数z在复平面内对应的点为Z(3m－2，m－1)．

由<m<1，得3m－2>0，m－1<0.所以点Z位于第四象限．故选D.

3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)

A．4＋8i  B．8＋2i

C．2＋4i  D．4＋i

答案　C

解析　A(6,5)，B(－2,3)，∵C为AB的中点，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.

4．已知复数z＝a＋bi(a、b∈R)，当a＝0时，复平面内的点z的轨迹是(　　)

A．实轴  B．虚轴

C．原点  D．原点和虚轴

答案　B

解析　a＝0时，z＝bi，复平面内的点z的轨迹是虚轴．

5．已知复数z＝a＋i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于________．

答案　－1＋i

解析　因为z在复平面内对应的点位于第二象限，

所以a<0，由|z|＝2知，＝2，解得a＝±1，

故a＝－1，所以z＝－1＋i.

6．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是________．

答案　2<k<或－<k<－2

解析　∵z位于第三象限，

∴∴2<k<或－<k<－2.

7．复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，求|z|.

解　∵复数z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，

∴解得a＝1，∴z＝2i.∴|z|＝2.

二、能力提升

8．若θ∈，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　B

解析　∵θ∈，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B.

9．设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　B

解析　因A、B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B＞，即A＞－B，sin A＞cos B．cos B－tan A＝cos B－＜cos B－sin A＜0，又tan B＞0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限，故选B.

10．复数z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第________象限．

答案　三

解析　log3<0，log3 <0，

∴z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第三象限．

11．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：

(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；

(3)在上半平面(含实轴)．

解　(1)要使点位于第四象限，须

∴，∴－7<m<3.

(2)要使点位于x轴负半轴上，须

，∴，∴m＝4.

(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m2＋3m－28≥0，

解得m≥4或m≤－7.

12．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，求复数z.

解　

根据题意可画图形如图所示：

设点Z的坐标为(a，b)，

∵||＝|z|＝2，∠xOZ＝120°，

∴a＝－1，b＝±，

即点Z的坐标为(－1，)或(－1，－)，∴z＝－1＋i或z＝－1－i.

三、探究与创新

13．试研究方程x2－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数．

解　设x＝a＋bi(a，b∈R)，则原方程可化为

a2－b2－5＋6＋2abi＝0

⇒，

⇒或

或

即x＝±2或x＝±3或x＝±i.

故方程在复数集上的解共有6个