章末复习

1．复数的概念：(1)虚数单位i；(2)复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数．

2．复数集

3．复数的四则运算，若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)

(1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；

(2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；

(3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；

(4)除法：＝＝＋i(z2≠0)；

(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；

(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；

(1±i)2＝±2i；若ω＝－±i，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.

4．共轭复数与复数的模

(1)若z＝a＋bi，则＝a－bi，z＋为实数，z－为纯虚数(b≠0)．

(2)复数z＝a＋bi的模|z|＝，

且z·＝|z|2＝a2＋b2.

5．复数的几何形式

(1)用点Z(a，b)表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，用向量表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，Z称为z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0)．

(2)

任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量.

6．复数加、减法的几何意义

(1)复数加法的几何意义

若复数z1、z2对应的向量、不共线，则复数z1＋z2是以、为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．

(2)复数减法的几何意义

复数z1－z2是连接向量、的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．

题型一　分类讨论思想的应用

　当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．

例1　已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

解　(1)当z为实数时，则有

∴，∴当a＝6时，z为实数．

(2)当z为虚数时，

则有，

∴，∴a≠±1且a≠6，

即当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．

(3)当z为纯虚数时，则有

∴∴不存在实数a，使z为纯虚数．

跟踪演练1　当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i.

(1)为实数；　(2)为纯虚数；

(3)对应的点在第一象限内；

(4)复数z对应的点在直线x－y＝0.

解　(1)z∈R⇔a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.

(2)z为纯虚数，

即故a＝0.

(3)z对应的点在第一象限，则

∴∴a＜0，或a＞2.

∴a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．

(4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，

∴a＝2.

题型二　数形结合思想的应用

　数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等．

例2　已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.

解　

设z＝x＋yi，x，y∈R，如图．

∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，

∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，

即

解得或.

∵|OA|≠|BC|，

∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，

故z＝－5.

跟踪演练2　已知复数z1＝i(1－i)3.

(1)求|z1|；

(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．

解　(1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2.

(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2＋1.

题型三　转化与化归思想的应用

　在求复数时，常设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要．

例3　已知z是复数，z＋2i，均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围．

解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2.

又＝＝(x－2i)(2＋i)

＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数，

∴x＝4.∴z＝4－2i，又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限．

∴，解得2<a<6.

∴实数a的取值范围是(2,6)．

跟踪演练3　已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.

解　设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.

又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，

∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，

∴∴，或或或∴或或或

题型四　类比思想的应用

复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，且要注意i2＝－1.

在运算的过程中常用来降幂的公式有

(1)i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈Z)；

(2)(1±i)2＝±2i；

(3)设ω＝－±i，则ω3＝1，ω2＝，1＋ω＋ω2＝0，＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω(ω∈N*)等；

(4)3＝－1；

(5)作复数除法运算时，有如下技巧：

＝＝＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．

例4　计算：

(1)(1－i)(1＋i)；

(2)＋2 014.

解　(1)法一　(1－i)(1＋i)

＝(1＋i)

＝(1＋i)

＝＋i＋i＋i2

＝－1＋i.

法二　原式＝(1－i)(1＋i)

＝(1－i2)＝2＝－1＋i.

(2)＋2 014＝＋1 007＝－＝i－＝i－i＝0.

跟踪演练4　计算：＋－.

解　＋－

＝＋－

＝＋－

＝2－(i＋3)－i＝－1－2i.

　高考对本章考查的重点

1．对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念．

2．对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式．

3．对复数几何意义的考查．在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义．