高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用测试题

1.7.1　定积分在几何中的应用

明目标、知重点

会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 

1．当x∈a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ʃf(x)dx.

2．当x∈a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝－ʃf(x)dx.

3．当x∈a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝ʃf(x)－g(x)]dx.(如图)

探究点一　求不分割型图形的面积

思考　怎样利用定积分求不分割型图形的面积？

答　求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．

例1　计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.

解　由得交点的横坐标为x＝0及x＝1.

因此，所求图形的面积为

S＝S曲边梯形OABC—S曲边梯形OABD

＝ʃdx－ʃx2dx

＝x|－x3|

＝－＝.

反思与感悟　求由曲线围成图形面积的一般步骤：

(1)根据题意画出图形；

(2)找出范围，确定积分上、下限；

(3)确定被积函数；

(4)将面积用定积分表示；

(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．

跟踪训练1　求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．

解　由

得或，

所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，

根据图形可得S＝ʃ(－x＋2)dx－ʃ(x2－4)dx

＝(2x－x2)|－(x3－4x)|

＝－(－)＝.

探究点二　分割型图形面积的求解

思考　由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？

答　求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．

例2　计算由直线y＝x－4，曲线y＝以及x轴所围图形的面积S.

解　方法一　作出直线y＝x－4，曲线y＝的草图．

解方程组

得直线y＝x－4与曲线y＝交点的坐标为(8,4)．

直线y＝x－4与x轴的交点为(4,0)．

因此，所求图形的面积为

S＝S1＋S2

＝ʃdx＋

＝|＋|－(x－4)2|

＝.

方法二　把y看成积分变量，则

S＝ʃ(y＋4－y2)dy＝(y2＋4y－y3)|

＝.

反思与感悟　两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁锁，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．

跟踪训练2　求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．

解　画出图形，如图所示．

解方程组

及

得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，

所以S＝ʃ－(－x)]dx＋ʃ(2－x)－(－x)]dx

＝ʃ(＋x)dx＋ʃ(2－x＋x)dx

＝(x＋x2)|＋(2x－x2＋x2)|

＝＋＋(2x－x2)|

＝＋6－×9－2＋

＝.

探究点三　定积分的综合应用

例3　在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：

切点A的坐标以及在切点A处的切线方程．

解　如图，设切点A(x0，y0)，

其中x0≠0，

由y′＝2x，过点A的切线方程为

y－y0＝2x0(x－x0)，

即y＝2x0x－x，

令y＝0，得x＝，即C(，0)，

设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S，

则S＝S曲边△AOB－S△ABC，

∵S曲边△AOB＝ʃx00x2dx＝x3|x00＝x，

S△ABC＝|BC|·|AB|

＝(x0－)·x＝x.

∴S＝x－x＝x＝.

∴x0＝1，

从而切点为A(1,1)，

切线方程为2x－y－1＝0.

反思与感悟　本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．

跟踪训练3　如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．

解　抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，

所以，抛物线与x轴所围图形的面积

S＝ʃ(x－x2)dx＝|＝.

又

由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，

所以，＝ʃ(x－x2－kx)dx

＝|

＝(1－k)3.

又知S＝，所以(1－k)3＝，

于是k＝1－ ＝1－.

1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有(　　)

S＝ʃf(x)－g(x)]dx　　S＝ʃ(2－2x＋8)dx

①　　　　　　　　　　②

S＝ʃf(x)dx－ʃf(x)dx　

③　　　　　　　　　　④

A．①③  B．②③  C．①④  D．③④

答案　D

解析　①应是S＝ʃf(x)－g(x)]dx，

②应是S＝ʃ2dx－ʃ(2x－8)dx，

③和④正确，故选D.

2．曲线y＝cos x(0≤x≤π)与坐标轴所围图形的面积是(　　)

A．2  B．3  C.  D．4

答案　B

解析　S＝cos xdx－cos xdx

＝sin x|－sin x|

＝sin －sin 0－sin ＋sin

＝1－0＋1＋1＝3.

3．由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为________．

答案　

解析　解方程组得

∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0)．

∴S＝ʃ(2x－x2)dx＝(x2－x3)|

＝(4－)－0＝.

4．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．

答案　

解析　由图形可得

S＝ʃ(x2＋4－5x)dx＋ʃ(5x－x2－4)dx＝(x3＋4x－x2)|＋

(x2－x3－4x)|

＝＋4－＋×42－×43－4×4－＋＋4＝.

呈重点、现规律]

对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时

(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．

(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．

这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．

一、基础过关

1．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是(　　)

A．ʃf(x)dx

B．|ʃf(x)dx|

C．ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx

D．ʃf(x)dx－ʃf(x)dx

答案　D

解析　∵x∈a，b]时，f(x)<0，x∈b，c]时，f(x)>0，

∴阴影部分的面积S＝ʃf(x)dx－ʃf(x)dx.

2．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　　)

A.  B．2  C.  D.

答案　C

解析　∵抛物线方程为x2＝4y，

∴其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y＝1.

如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y＝x2的图象和x轴正半轴及直线x＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，

即S＝4－2ʃdx＝＝4－＝.

3．若y＝f(x)与y＝g(x)是a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x＝a，x＝b所围成的平面区域的面积为(　　)

A．∫af(x)－g(x)]dx

B．∫ag(x)－f(x)]dx

C．∫a|f(x)－g(x)|dx

D.

答案　C

解析　当f(x)＞g(x)时，

所求面积为∫af(x)－g(x)]dx；

当f(x)≤g(x)时，所求面积为∫ag(x)－f(x)]dx.

综上，所求面积为∫a|f(x)－g(x)|dx.

4．曲线y＝x2－1与x轴所围成图形的面积等于(　　)

A.   B.

C．1   D.

答案　D

解析　函数y＝x2－1与x轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y轴对称，故所求面积为

S＝2ʃ(1－x2)dx＝2(x－x3)|

＝2×＝.

5．由曲线y＝与y＝x3所围成的图形的面积可用定积分表示为________．

答案　ʃ(－x3)dx

解析　画出y＝和y＝x3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组得交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝ʃ(－x3)dx.

6．由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S＝______.

答案　

解析　图形如图所示：

S＝ʃx2dx－ʃx2dx

＝ʃx2dx

＝x3|＝.

二、能力提升

7．设f(x)＝则ʃf(x)dx等于(　　)

A.  B.

C.  D．不存在

答案　C

解析　数形结合，如图，

ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃ(2－x)dx

＝x3|＋(2x－x2)|

＝＋(4－2－2＋)＝.

8．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是，则c等于(　　)

A.  B.  C．1  D.

答案　B

解析　由得x＝0或x＝.

∵0<x<时，x2>cx3，

∴S＝(x2－cx3)dx

＝(x3－cx4)|

＝－＝＝.

∴c3＝.

∴c＝.

9．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．

答案　

解析　根据题意得：S阴＝ʃ3x2dx＝x3|＝1，则点M取自阴影部分的概率为＝＝.

10．求曲线y＝6－x和y＝，y＝0围成图形的面积．

解　作出直线y＝6－x，曲线y＝的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．

解方程组得直线y＝6－x与曲线y＝交点的坐标为(2,4)，直线y＝6－x与x轴的交点坐标为(6,0)．

因此，所求图形的面积S＝S1＋S2

＝ʃdx＋ʃ(6－x)dx

＝×|＋(6x－x2)|

＝＋(6×6－×62)－(6×2－×22)]

＝＋8＝.

11．求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积．

解　由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，

由得两直线交点坐标为C(2,2)，

∴S＝S△ABC－ʃ(－x2＋4x－3)dx

＝×2×2－＝2－＝.

12．设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1、S2.

(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；

(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．

解　(1)设点P的横坐标为t(0<t<2)，

则P点的坐标为(t，t2)，

直线OP的方程为y＝tx.

S1＝ʃ(tx－x2)dx＝t3，

S2＝ʃ(x2－tx)dx＝－2t＋t3.

因为S1＝S2，

所以t＝，点P的坐标为(，)．

(2)S＝S1＋S2＝t3＋－2t＋t3

＝t3－2t＋，S′＝t2－2，

令S′＝0得t2－2＝0.

因为0<t<2，所以t＝，

因为0<t<时，S′<0；<t<2时，S′>0.

所以，当t＝时，

S1＋S2有最小值－，

此时点P的坐标为(，2)．

三、探究与拓展

13．已知抛物线y＝x2－2x及直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值．

解　作出y＝x2－2x的图象如图．

(1)当a<0时，

S＝ʃ(x2－2x)dx

＝(x3－x2)|＝－＋a2

＝，

∴(a＋1)(a－2)2＝0.

∵a<0，∴a＝－1.

(2)当a>0时，

①若0<a≤2，则

S＝－ʃ(x2－2x)dx

＝－(x3－x2)

＝a2－a3＝，

∴a3－3a2＋4＝0

即(a＋1)(a－2)2＝0.

∵a>0，∴a＝2.

②当a>2时，

S＝－ʃ(x2－2x)dx＋ʃ(x2－2x)dx

＝－(x3－x2)|＋(x3－x2)|

＝－(－4)＋(a3－a2－＋4)

＝＋(a3－a2－＋4)＝.

∴a3－a2＋＝0

∴a>2不合题意．

综上a＝－1，或a＝2.