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高中数学人教版新课标A选修2-22.2直接证明与间接证明同步测试题
展开这是一份高中数学人教版新课标A选修2-22.2直接证明与间接证明同步测试题,共8页。试卷主要包含了反证法常见的矛盾类型,“a 2.2.2 反证法明目标、知重点1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.1.定义:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这种证明方法叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型:反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.情境导学]王戎小时候,爱和小朋友在路上玩耍.一天,他们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘李子,独有王戎没动,等到小朋友们摘了李子一尝,原来是苦的!他们都问王戎:“你怎么知道李子是苦的呢?”王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的.”这就是著名的“道旁苦李”的故事.王戎的论述,运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法.探究点一 反证法的概念思考1 通过情境导学得上述方法的一般模式是什么?答 (1)假设原命题不成立(提出原命题的否定,即“李子苦”),(2)以此为条件,经过正确的推理,最后得出一个结论(“早被路人摘光了”),(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法称为反证法.思考2 反证法证明的关键是经过推理论证,得出矛盾.反证法引出的矛盾有几种情况?答 (1)与原题中的条件矛盾;(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾;(3)与假设矛盾.思考3 反证法主要适用于什么情形?答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形.探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论例1 已知直线a,b和平面α,如果a⊄α,b⊂α,且a∥b,求证:a∥α.证明 因为a∥b,所以经过直线a,b确定一个平面β.因为a⊄α,而a⊂β,所以α与β是两个不同的平面.因为b⊂α,且b⊂β,所以α∩β=b.下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点.假设直线a与平面α有公共点P,如图所示,则P∈α∩β=b,即点P是直线a与b的公共点,这与a∥b矛盾.所以a∥α.反思与感悟 数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实,它们的判定方法极少,宜用反证法证明.正难则反是运用反证法的常见思路,即一个命题的结论如果难以直接证明时,可考虑用反证法.跟踪训练1 如图,已知a∥b,a∩平面α=A.求证:直线b与平面α必相交.证明 假设b与平面α不相交,即b⊂α或b∥α.①若b⊂α,因为b∥a,a⊄α,所以a∥α,这与a∩α=A相矛盾;②如图所示,如果b∥α,则a,b确定平面β.显然α与β相交,设α∩β=c,因为b∥α,所以b∥c.又a∥b,从而a∥c,且a⊄α,c⊂α,则a∥α,这与a∩α=A相矛盾.由①②知,假设不成立,故直线b与平面α必相交.探究点三 用反证法证明否定性命题例2 求证:不是有理数.证明 假设是有理数.于是,存在互质的正整数m,n,使得=,从而有m=n,因此m2=2n2,所以m为偶数.于是可设m=2k(k是正整数),从而有4k2=2n2,即n2=2k2,所以n也为偶数.这与m,n互质矛盾.由上述矛盾可知假设错误,从而不是有理数.反思与感悟 当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时,由于此类问题的反面比较具体,适于应用反证法.跟踪训练2 已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证:,,不成等差数列.证明 假设,,成等差数列,则+=2,即a+c+2=4b,而b2=ac,即b=,∴a+c+2=4,∴(-)2=0.即=,从而a=b=c,与a,b,c不成等差数列矛盾,故,,不成等差数列.探究点四 含至多、至少、唯一型命题的证明例3 若函数f(x)在区间a,b]上是增函数,那么方程f(x)=0在区间a,b]上至多有一个实根.证明 假设方程f(x)=0在区间a,b]上至少有两个实根,设α、β为其中的两个实根.因为α≠β ,不妨设α<β,又因为函数f(x)在a,b]上是增函数,所以f(α)<f(β).这与假设f(α)=0=f(β)矛盾,所以方程f(x)=0在区间a,b]上至多有一个实根.反思与感悟 当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时,常用反证法来证明,用反证法证明时,注意准确写出命题的假设.跟踪训练3 若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证:a、b、c中至少有一个大于0.证明 假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,所以a+b+c≤0,而a+b+c=(x2-2y+)+(y2-2z+)+(z2-2x+)=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,所以a+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾,故a、b、c中至少有一个大于0.1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设( )A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角答案 B2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”,应先假设这个三角形中( )A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60°答案 B3.“a<b”的反面应是( )A.a≠b B.a>bC.a=b D.a=b或a>b答案 D4.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设( )A.a不垂直于c B.a,b都不垂直于cC.a⊥b D.a与b相交答案 D5.已知a≠0,证明:关于x的方程ax=b有且只有一个根.证明 由于a≠0,因此方程至少有一个根x=.如果方程不止一个根,不妨设x1,x2是它的两个不同的根,即ax1=b, ①ax2=b. ②①-②,得a(x1-x2)=0.因为x1≠x2,所以x1-x2≠0,所以应有a=0,这与已知矛盾,故假设错误.所以,当a≠0时,方程ax=b有且只有一个根.呈重点、现规律]1.反证法证明的基本步骤是什么?(1)假设命题结论的反面是正确的;(反设)(2)从这个假设出发,经过逻辑推理,推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾;(推缪)(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论是正确的.(结论)2.反证法证题与“逆否命题法”是否相同?反证法的理论基础是逆否命题的等价性,但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题.反证法在否定结论后,只要找到矛盾即可,可以与题设矛盾,也可以与假设矛盾,与定义、定理、公式、事实矛盾.因此,反证法与证明逆否命题是不同的.一、基础过关1.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是( )①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③④答案 D2.否定:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A.a,b,c都是偶数B.a,b,c都是奇数C.a,b,c中至少有两个偶数D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数答案 D解析 自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形:3个都是奇数,1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数,所以否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a,b,c”中都是奇数或至少有两个偶数.3.有下列叙述:①“a>b”的反面是“a<b”;②“x=y”的反面是“x>y或x<y”;③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”;④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”.其中正确的叙述有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案 B解析 ①错:应为a≤b;②对;③错:应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上;④错:应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.4.用反证法证明命题:“a、b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为( )A.a,b都能被5整除 B.a,b都不能被5整除C.a,b不都能被5整除 D.a不能被5整除答案 B解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”,即“a,b都不能被5整除”.5.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0有有理根,那么a,b,c中存在偶数”时,否定结论应为( )A.a,b,c都是偶数 B.a,b,c都不是偶数C.a,b,c中至多一个是偶数 D.至多有两个偶数答案 B解析 a,b,c中存在偶数即至少有一个偶数,其否定为a,b,c都不是偶数.6.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_________________________.答案 存在一个三角形,其外角最多有一个钝角解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”,“至少有两个”的否定是“最多有一个”.7.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a、b、c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.求证:f(x)=0无整数根.证明 设f(x)=0有一个整数根k,则ak2+bk=-c.①又∵f(0)=c,f(1)=a+b+c均为奇数,∴a+b为偶数,当k为偶数时,显然与①式矛盾;当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),则ak2+bk=(2n+1)·(2na+a+b)为偶数,也与①式矛盾,故假设不成立,所以方程f(x)=0无整数根.二、能力提升8.已知x1>0,x1≠1且xn+1=(n=1,2,…),试证:“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn+1”,当此题用反证法否定结论时应为( )A.对任意的正整数n,有xn=xn+1B.存在正整数n,使xn=xn+1C.存在正整数n,使xn≥xn+1D.存在正整数n,使xn≤xn+1答案 D解析 “任意”的反语是“存在一个”.9.设a,b,c都是正数,则三个数a+,b+,c+( )A.都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2答案 C解析 假设a+<2,b+<2,c+<2,则(a+)+(b+)+(c+)<6.又(a+)+(b+)+(c+)=(a+)+(b+)+(c+)≥2+2+2=6,这与假设得到的不等式相矛盾,从而假设不正确,所以这三个数至少有一个不小于2.10.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是________.答案 a≤-2或a≥-1解析 若两方程均无实根,则Δ1=(a-1)2-4a2=(3a-1)(-a-1)<0,∴a<-1或a>.Δ2=(2a)2+8a=4a(a+2)<0,∴-2<a<0,故-2<a<-1.若两个方程至少有一个方程有实根,则a≤-2或a≥-1.11.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0.求证:a>0,b>0,c>0.证明 用反证法:假设a,b,c不都是正数,由abc>0可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数,不妨设a<0,b<0,c>0,则由a+b+c>0,可得c>-(a+b),又a+b<0,∴c(a+b)<-(a+b)(a+b),ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab,即ab+bc+ca<-a2-ab-b2,∵a2>0,ab>0,b2>0,∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0,即ab+bc+ca<0,这与已知ab+bc+ca>0矛盾,所以假设不成立.因此a>0,b>0,c>0成立.12.已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于.证明 假设三个式子同时大于,即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,三式相乘得(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c>,①又因为0<a<1,所以0<a(1-a)≤()2=.同理0<b(1-b)≤,0<c(1-c)≤,所以(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤②①与②矛盾,所以假设不成立,故原命题成立.三、探究与拓展13.已知f(x)是R上的增函数,a,b∈R.证明下面两个命题:(1)若a+b>0,则f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b);(2)若f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),则a+b>0.证明 (1)因为a+b>0,所以a>-b,b>-a,又因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),由不等式的性质可知f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).(2)假设a+b≤0,则a≤-b,b≤-a,因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)≤f(-b),f(b)≤f(-a),所以f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b),这与已知f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)矛盾,所以假设不正确,所以原命题成立.
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