高中数学人教版新课标A选修2-2第一章 导数及其应用1.5定积分的概念第1课时同步测试题

自我小测

1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是(　　)

A．y＝x2         B．y＝|x|

C．y＝        D．y＝

2．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n等分，则每个小区间的长度为(　　)

A．           B．

C．        D．

3．把区间[a，b](a＜b)n等分之后，第i个小区间是(　　)

A．

B．

C．

D．

4．在求由曲线y＝与直线x＝1，x＝3，y＝0所围成图形的面积时，若将区间n等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i个小曲边梯形的面积ΔSi约等于(　　)

A．          B．

C．        D．

5．在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是(　　)

A．

B．

C．

D．

6．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间分成10等份，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动路程的近似值为________．

7．在求由y＝0，x＝a，x＝b(0＜a＜b)与曲线y＝f(x)＝x2围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，以每一个小区间的左端点的函数值为高的小矩形的面积和为S′，下列说法：

①n个小曲边梯形的面积和等于S；

②n个小曲边梯形的面积和大于S；

③n个小矩形的面积和S′小于S；

④n个小矩形的面积和S′等于S.

其中，所有正确结论的序号为__________．

8．汽车以v＝(3t＋2) m/s做变速直线运动时，在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程s是__________．

9．求由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线f(x)＝x2所围成的图形的面积．

10．已知物体自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．

参考答案

1．解析：函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x＝0时，函数不连续．

答案：D

2．解析：每个小区间长度为＝.

答案：B

3．解析：区间[a，b](a＜b)的长度为(b－a)，n等分之后，每个小区间长度均为，第i个小区间是

(i＝1,2，…，n)．

答案：D

4．解析：每个小区间长度为，第i个小区间为[，]，因此第i个小曲边梯形的面积ΔSi≈·＝.

答案：A

5．解析：若将区间[0,2]n等分，则每一区间的长度为，第i个区间为，若取每一区间的右端点进行近似代替，则和式的极限形式为 .

答案：B

6．解析：(1×i)＝1＋2＋…＋10＝55.

答案：55

7．解析：n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S，①正确；由于以每一个小区间的左端点的函数值为高的小矩形的面积小于小曲边梯形的面积，所以小矩形的面积和S′小于曲边梯形的面积S，③正确，②④错误．

答案：①③

8．解析：将[1,2]n等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则

Δt＝，v(ξi)＝v

＝3＋2＝(i－1)＋5.

∴sn＝·

＝·

＝·＋5＝＋5.

∴s＝sn＝＋5＝6.5.

答案：6.5 m

9．解：(1)分割

将区间[0,1]等分成n个小区间：

，，…，，…，.

每个小区间的长度为Δx＝.

过各分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.

(2)近似代替

在区间上，用处的函数值2作为高，以小区间的长度Δx＝作为底边长的小矩形的面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，即ΔSi≈2·.

(3)求和

曲边梯形的面积为

Sn＝Si≈2·

＝0·＋·2·＋·2·＋…＋·2·

＝[12＋22＋…＋(n－1)2]

＝.

(4)取极限

曲边梯形的面积为

S＝ ＝.

10．解：(1)分割．

把时间区间[0，t]等分成n个小区间，其中第i个小区间为(i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段的长度为Δt＝－＝.在各个小区间内物体下落的距离记作si.

过各点作x轴的垂线，把曲边梯形分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：Δs1，Δs2，…，Δsn.

(2)近似代替．

在(i＝1,2，…，n)上任取一时刻ξi，可取时刻ξi＝·t，使v(ξi)＝g，近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间内所经过的距离可近似地表示为Δsi≈g·(i＝1,2，…，n)．

(3)求和．

sn＝si＝·＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝gt2.

(4)取极限．

s＝ gt2＝gt2.

所以在时间[0，t]内物体下落的距离为gt2.