高中人教版新课标A第二章 随机变量及其分布综合与测试随堂练习题

章末综合测评(二)　随机变量及其分布

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列说法不正确的是(　　)

A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量

B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0

C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值

D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布

【解析】　公式E(X)＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C.

【答案】　C

2．(2016·吉安高二检测)若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于的是(　　)

A．P(X＝0)　　　　 B．P(X≤2)

C．P(X＝1)   D．P(X＝2)

【解析】　由已知易知P(X＝1)＝.

【答案】　C

3．(2016·长沙高二检测)若X的分布列为

则E(X)＝(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】　由＋a＝1，得a＝，所以E(X)＝0×＋1×＝.

【答案】　A

4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是(　　)

A．0.16  B．0.24

C．0.96  D．0.04

【解析】　三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.

【答案】　C

5．如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)等于(　　)

(注：P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4)

A．0.210  B．0.022 8

C．0.045 6  D．0.021 5

【解析】　P(X≤2)＝(1－P(2<X≤6))×＝[1－P(4－2<X≤4＋2)]×＝(1－0.954 4)×＝0.022 8.

【答案】　B

6．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为(　　)【导学号：97270056】

A.   B.

C.   D.

【解析】　连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P＝C××2＝.

【答案】　A

7．校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为，那么成活棵数X的方差是(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】　由题意知成活棵数X～B，所以成活棵数X的方差为4××＝.故选C.

【答案】　C

8．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】　记“第一次摸到正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝.

故P(B|A)＝＝.

【答案】　D

9．(2016·长沙高二检测)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝e－，则下列命题中不正确的是(　　)

A．该市在这次考试的数学平均成绩为80分

B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同

C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同

D．该市这次考试的数学成绩标准差为10

【解析】　利用正态密度函数的表达式知μ＝80，σ＝10.故A，D正确，利用正态曲线关于直线x＝80对称，知P(ξ>110)＝P(ξ<50)，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确，故选                            B.

【答案】　B

10．设随机变量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)＝(　　)

A．0.3  B．0.5

C．0.1  D．0.2

【解析】　因为P(ξ＝k)＝，k＝1,2，…，10，又由η＝2ξ－1<6，得ξ<，即ξ＝1,2,3，所以P(η<6)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＝0.3.

【答案】　A

11．甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所示，则有结论(　　)

A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些

B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些

C．两人的产品质量一样好

D．无法判断谁的产品质量好一些

【解析】　∵E(X甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，

E(X乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9.

∵E(X甲)>E(X乙)，

∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．

【答案】　B

12．(2016·深圳高二检测)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数中a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望为(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】　记a2，a3，a4，a5位上出现1的次数为随机变量η，则η～B，

E(η)＝4×＝.因为ξ＝1＋η，

E(ξ)＝1＋E(η)＝.故选B.

【答案】　B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)

13．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.

【解析】　P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝＝.

【答案】　

14．一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x＝1处的概率为________．

【解析】　由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x＝1处的概率为C21＝.

【答案】　

15．(2016·福州检测)一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________.

【解析】　

如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，所以n(AB)＝1，

P(A|B)＝＝.

【答案】　

16．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：

①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；

②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；

③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；

④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.

其中所有正确结论的序号是________. 【导学号：97270057】

【解析】　①恰有一个白球的概率P＝＝，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为6××＝，故②正确；

③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．

则P(A)＝，P(AB)＝＝，

∴P(B|A)＝＝，故③错；

④每次取到红球的概率P＝，

所以至少有一次取到红球的概率为

1－3＝，

故④正确．

【答案】　①②④

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：

(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？

(2)从2号箱取出红球的概率是多少？

【解】　记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；

事件B：从1号箱中取出的是红球．

P(B)＝＝.

P()＝1－P(B)＝.

(1)P(A|B)＝＝.

(2)∵P(A|)＝＝，

∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩)

＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()

＝×＋×＝.

18．(本小题满分12分)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．

(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？

(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人？

【解】　因为ξ～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝＝10.

(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.

(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.

由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名学生，所以考试成绩在(80,100)的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．

19．(本小题满分12分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.

【解】　工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为

E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.7，

D(X)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81.

工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为

E(Y)＝0×＋1×＋2×＝0.7，

D(Y)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61.

由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y)，可见乙的技术比较稳定．

20．(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．

(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)

【解】　(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为

p＝＝.

(2)X的所有可能值为1,2,3，且

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝.

故X的分布列为

从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

21．(本小题满分12分)某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．

(1)如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的分布列及E(ξ)；

(2)要使10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．

【解】　(1)依题意，ξ可能的取值为1,0，－1.ξ的分布列为

E(ξ)＝－＝.

(2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为

E(η)＝2α－2β＝4α－2.

依题意得4α－2≥，

故≤α≤1.

22．(本小题满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．

(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；

(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比．分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．

【解】　(1)X可能的取值为10,20,100，－200.

根据题意，有

P(X＝10)＝C×1×2＝，

P(X＝20)＝C×2×1＝，

P(X＝100)＝C×3×0＝，

P(X＝－200)＝C×0×3＝.

所以X的分布列为

(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则

P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.

所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为

1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝.

因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.

(3)X的数学期望为

EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－.

这表明，获得的分数X的均值为负，

因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．