人教版新课标A选修4-1四 直角三角形的射影定理课时练习

这是一份人教版新课标A选修4-1四 直角三角形的射影定理课时练习，共7页。
学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC∶BC的值是(　　)A．3∶2　　　　 B．9∶4C.∶ D.∶【解析】　如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，又∵AD＝3，BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝5，∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10.∴＝＝，即AC∶BC＝∶，故选C.【答案】　C2.如图1­4­9所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是(　　)图1­4­9A．6   B．3C．18 D．3【解析】　由题意知∴AD2＝18，∴AD＝3.【答案】　B3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm，斜边上的高为2.4 cm，则这个直角三角形的面积为(　　)【导学号：07370021】A．7.2 cm2   B．6 cm2C．12 cm2 D．24 cm2【解析】　长为3 cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为＝5(cm)，∴三角形面积为×5×2.4＝6(cm2)．【答案】　B4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则等于(　　)A.　　 B.  C.　　 D.【解析】　如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC，∴＝＝2，即＝，∴＝.【答案】　C5．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是(　　)【导学号：07370022】A. 　　　 B.　　　C.　　　 D．2【解析】　如图，由射影定理得CD2＝AD·BD.又∵BD∶AD＝1∶4，令BD＝x，则AD＝4x(x>0)，∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x，在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.【答案】　C二、填空题6．如图1­4­10，在矩形ABCD中，AE⊥BD，OF⊥AB.DE∶EB＝1∶3，OF＝a，则对角线BD的长为________．图1­4­10【解析】　∵OF＝a，∴AD＝2a.∵AE⊥BD，∴AD2＝DE·BD.∵DE∶EB＝1∶3，∴DE＝BD，∴AD2＝BD·BD，∴BD2＝4AD2＝4×4a2＝16a2，∴BD＝4a.【答案】　4a7．如图1­4­11，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝______cm.图1­4­11【解析】　连接CD，则CD⊥A B.由AC＝3 cm，BC＝4 cm，得AB＝5 cm.由射影定理得BC2＝BD·BA，即42＝5BD.所以BD＝ cm.【答案】　8．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10 cm，AC＝6 cm，则此梯形的面积为________．【解析】　如图，过C点作CE⊥AB于E.在Rt△ACB中，∵AB＝10 cm，AC＝6 cm，∴BC＝8 cm，∴BE＝6.4 cm，AE＝3.6 cm，∴CE＝＝4.8(cm)，∴AD＝4.8 cm.又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，∴DC＝AE＝3.6 cm.∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)．【答案】　32.64 cm2三、解答题9．已知直角三角形周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分. (1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．  【解】　(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，由题意可得，DE＝3x，BE＝4x，∴AE＋AC＋12x＝48.又AE＝AC，∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm.(2)作CF⊥AB于F，∴AC2＝AF·AB，∴AF＝＝＝(cm)．同理BF＝＝＝(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm.10．如图1­4­12所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，点F，G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.图1­4­12【证明】　∵CD垂直平分AB，∴△ACD和△BDE均为直角三角形，并且AD＝BD.又∵DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE. [能力提升]1．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为(　　)A．1∶2　　　　 B．2∶1C．1∶4 D．4∶1【解析】　设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为，∴两直角边在斜边上的射影分别为和.【答案】　C2．已知Rt△ABC中，斜边AB＝5 cm，BC＝2 cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于E，且AD＝3.2 cm，则DE＝(　　)A．1.24 cm   B．1.26 cmC．1.28 cm D．1.3 cm【解析】　如图，∵∠A＝∠A，∴Rt△ADE∽Rt△ABC，∴＝，DE＝＝＝1.28.【答案】　C3．如图1­4­13所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，则BC＝__________.图1­4­13【解析】　由射影定理得，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴＝，即BC2＝.又∵CD2＝AD·BD，∴BD＝.∴BC2＝＝＝64.∴BC＝8.【答案】　84．如图1­4­14，已知BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G，H，交CE于F，且∠H＝∠BCE，求证：GD2＝FG·GH.图1­4­14【证明】　∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH，∴△BCE∽△BHG，∴∠BEC＝∠BGH＝90°，∴HG⊥BC.∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，由射影定理得，GD2＝BG·CG.　①∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H，∴△FCG∽△BHG，∴＝，∴BG·CG＝GH·FG.　②由①②得，GD2＝GH·FG.