高中数学平面直角坐标系第1课时课时作业

第二讲  参数方程

二、圆锥曲线的参数方程

第1课时  椭圆

A级　基础巩固

一、选择题

1．把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为参数方程是(　　)

A.(φ为参数)

B.(φ为参数)

C.(φ为参数)

D.(φ为参数)

解析：把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为＋＝1，则b＝2，a＝3，其参数方程为(φ为参数)．

答案：B

2．椭圆(θ为参数)的焦距为(　　)[来源:学科网]

A.　　　B．2　　　C.　　　D．2

解析：消去参数θ得椭圆方程为：＋＝1，

所以a2＝25，b2＝4，所以c2＝21，所以c＝，[来源:学,科,网Z,X,X,K]

所以2c＝2.

答案：B

3．点(2，3)对应曲线(θ为参数)中参数θ的值为(　　)

A．kπ＋(k∈Z)   B．kπ＋(k∈Z)

C．2kπ＋(k∈Z)   D．2kπ＋(k∈Z)

解析：由得

故D正确．

答案：D

4．当参数θ变化时，动点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过(　　)

A．点(2，3)   B．点(2，0)

C．点(1，3)   D．点

解析：把四个选项代入P点检验，只有B符合．

答案：B

5．椭圆(θ为参数，0≤θ<2π)上有一点P，则P点的离心角为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

解析：将P代入得

又0≤θ<2π，所以θ＝.

答案：B

二、填空题

6．已知椭圆的参数方程为(t为参数)，点M、N在椭圆上，对应参数分别为，，则直线MN的斜率为________．

解析：当t＝时，

即M(1，2)，同理N(，2)．

kMN＝＝－2.

答案：－2

7．已知P是椭圆＋＝1上的动点，O为坐标原点，则线段OP中点M的轨迹方程是________．

解析：设P(4cos θ，2sin θ)，M(x，y)，则由中点坐标公式得　即(θ为参数)，

消去θ得动点M的轨迹方程是＋＝1.

答案：＋＝1

8．已知A(3，0)，P是椭圆＋＝1上的动点．若使|AP|最大，则P点坐标是________．

解析：椭圆的参数方程为(θ为参数)．

设P(5cos θ，4sin θ)，[来源:学科网ZXXK]

则|PA|＝＝

＝

＝|3cos θ－5|≤8，

当cos θ＝－1时，|PA|最大，

此时，sin θ＝0，点P的坐标为(－5，0)．

答案：(－5，0)

三、解答题

9．已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值，以及取得最大值时点P的坐标．

解：直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x＋2y＝0.

因为P为椭圆＋y2＝1上任意一点，

故可设P(2cos θ，sin θ)．

因此点P到直线l的距离[来源:学科网ZXXK]

d＝＝，

所以当sin＝±1，即θ＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.当k为偶数时，得点P的坐标为，当k为奇数时，得点P的坐标为.

所以点P到直线l的距离的最大值为，取得最大值时点P的坐标为或.

10．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点．

(1)若椭圆C上的点A到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．

解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，

得2a＝4，即a＝2.

又点A在椭圆上，

因此＋＝1，得b2＝3，

于是c2＝a2－b2＝1，

所以椭圆C的方程为＋＝1，

焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)．

(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ，sin θ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，

则x＝，y＝，

所以x＋＝cos θ，＝sin θ.

消去θ，得＋＝1.

即为线段F1P中点的轨迹方程．

B级　能力提升

1．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最大值为(　　)

A．2   B．4

C.＋   D．2[来源:学科网ZXXK]

解析：椭圆为＋＝1，设P(cos θ，2sin θ)，

x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin≤2.

答案：D

2．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆(0≤θ<2π)，恒有公共点，则b的取值范围是________．

解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y＝x＋b得：

4sin θ＝2cos θ＋b

因为恒有公共点，所以方程有解．

令f(θ)＝b＝4sin θ－2cos θ＝2sin(θ－φ)，其中tan φ＝.所以－2≤f(θ)≤2.

所以－2≤b≤2.

答案：[－2，2]

3．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；

(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0，4)．

因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．

(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为

d＝＝＝

cos＋2.

由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.