高中数学人教版新课标A选修4-5本节综合随堂练习题

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课时提升作业 四

绝对值三角不等式

一、选择题(每小题6分,共18分)

1.已知|x-m|<,|y-n|<,则|4x+2y-4m-2n|小于　(　　)

A.ξ　　　　　B.2ξ　　　　　C.3ξ　　　　　D.

【解析】选C.|4x+2y-4m-2n|=|4(x-m)+2(y-n)|

≤4|x-m|+2|y-n|<4×+2×=3ξ.

【补偿训练】若|x-a|<h,|y-a|<k,则下列不等式一定成立的是　(　　)

A.|x-y|<2h　　　　    B.|x-y|<2k

C.|x-y|<h+k       D.|x-y|<|h-k|

【解析】选C.|x-y|=|(x-a)+(a-y)|

≤|x-a|+|a-y|<h+k.

2.(2016·商丘高二检测)已知x∈R,不等式|x+1|-|x-3|≤a恒成立,则实数a的取值范围为　(　　)

A.(-∞,4]       B.[4,+∞)

C.[1,3]        D.[-1,3]

【解析】选B.因为x∈R,所以|x+1|-|x-3|≤|(x+1)-(x-3)|=4,

故使不等式|x+1|-|x-3|≤a恒成立的实数a的取值范围为a≥4.

3.设变量x,y满足|x-1|+|y-a|≤1,若2x+y的最大值是5,则实数a的值是

(　　)

A.2    B.1    C.0    D.-1

【解析】选B.设点M(1,a),则满足|x-1|+|y-a|≤1的点(x,y)构成区域为平行四边形ABCD及其内部,

如图所示:

令z=2x+y,则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距,故当直线y=-2x+z过点C(2,a)时,z取得最大值为5,即4+a=5,求得a=1.

二、填空题(每小题6分,共12分)

4.x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为________.

【解题指南】利用绝对值不等式及绝对值的几何意义求解.

【解析】由|a|+|b|≥|a-b|知,|x|+|x-1|≥

|x-(x-1)|=1,同理|y|+|y-1|≥1,又|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,

故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,

所以0≤x≤1且0≤y≤1,即0≤x+y≤2.

答案:[0,2]

5.若不等式|2a-1|≤对一切非零实数x恒成立,则实数a的取值范围是____________.

【解析】=|x|+≥2,

所以由已知得|2a-1|≤2,

即2a-1≤2或2a-1≥-2,解得-≤a≤.

答案:[-,]

三、解答题(每小题10分,共30分)

6.设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.若存在x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围.

【解析】f(x)=|2x-1|-|x+2|=

所以f(x)min=f=-.

因为存在x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,

所以4m-2m2>f(x)min=-,

整理得:4m2-8m-5<0,解得-<m<,

因此m的取值范围是.

7.已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.

【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式.

【解析】f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,

因为x∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥

|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,

于是有m+1≤-2,得m≤-3,

即m的取值范围是(-∞,-3].

8.(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=|2x-a|+a.

(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集.

(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.

【解析】(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2,

解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.

因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.

(2)当x∈R时,

f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|

≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,

所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于

|1-a|+a≥3,　　　　①

当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.

当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.

所以a的取值范围是[2,+∞).

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.已知h>0,设命题甲:两个实数a,b满足|a-b|<2h,命题乙:两个实数a,b满足|a-1|<h且|b-1|<h,那么　(　　)

A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充分条件

D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

【解析】选B.|a-b|=|(a-1)-(b-1)|≤|a-1|+|b-1|.

若有甲:|a-b|<2h,不一定有乙:|a-1|<h,且|b-1|<h,

故甲不是乙的充分条件,反之,由乙则可推出甲:2h>|a-1|+|b-1|≥|a-1-(b-1)|=|a-b|.

2.(2016·济南高二检测)已知不等式|x-m|<1成立的一个充分不必要条件是<x<,则实数m的取值范围为　(　　)

A.       B.

C.      D.

【解析】选B.由|x-m|<1得m-1<x<m+1.因为不等式|x-m|<1成立的一个充分不必要条件是<x<,则是(m-1,m+1)的子集,即解得-≤m≤.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2016·九江高二检测)已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则实数a的取值范围为________.

【解析】由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,

所以若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,

则|a-3|≥a,解得a≤,

所以实数a的取值范围是.

答案:

4.(2016·济南高二检测)以下三个命题:

①若|a-b|≤1,则|a|≤|b|+1;

②若a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|;

③|x|<2,|y|>3,则<.

其中正确命题的序号为________.

【解析】因为|a|-|b|≤|a-b|≤1,

所以|a|≤|b|+1,故①正确;

因为|a+b|-2|a|=|a+b|-|2a|≤|(a+b)-2a|

=|a-b|,故②正确;③显然正确.

答案:①②③

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.(2015·南昌高二检测)设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M,证明:<.

【证明】记f(x)=|x-1|-|x+2|

=

由-2<-2x-1<0,解得-<x<,

则M=.

因为a,b∈M,所以|a|<,|b|<,

所以≤|a|+|b|<×+×=.

【拓展延伸】含绝对值不等式的证明

证明含有绝对值的不等式,其思路主要有两条:

(1)恰当地运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行放缩,并注意不等号的传递性及等号成立的条件.

(2)把含绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式,再利用比较法、综合法及分析法等进行证明,其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法或分类讨论法.

6.对于任意的实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立,记实数M的最大值是m,求m的值.

【解析】不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立,

即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立,即左边恒小于或等于右边的最小值.

因为|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,

当且仅当(a-b)(a+b)≥0时等号成立,

即|a|≥|b|时,等号成立,

也就是的最小值是2.所以m=2.

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