高中数学人教版新课标A选修4-5第二讲 讲明不等式的基本方法一 比较法同步训练题

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考前过关训练(一)

不等式和绝对值不等式

 (35分钟　60分)

一、选择题(每小题3分,共18分)

1.已知x≥,则f(x)=有　(　　)

A.最大值　　　　　　　　　  B.最小值

C.最大值1       D.最小值1

【解析】选D.因为x≥,所以x-2≥.

所以f(x)==(x-2)+≥

2=1,

当且仅当=,

即x=3时,等号成立,所以f(x)min=1.

2.若a>b>c,则一定成立的不等式是　(　　)

A.a|c|>b|c|       B.ab>ac

C.a-|c|>b-|c|      D.<<

【解析】选C.当c=0时,A不成立;

当a<0时,B不成立;当a=1,c=-1时,D不成立.

因为a>b,所以C成立.

3.不等式|sinx+tanx|<a的解集为N,不等式|sinx|+|tanx|<a的解集为M,则解集M与N的关系是　(　　)

A.N⊆M       B.M⊆N　

C.M=N        D.MN

【解析】选B.因为|sinx+tanx|≤|sinx|+|tanx|,

则M⊆N(当a≤0时,M=N=∅),故选B.

4.不等式3<|5-2x|≤9的解集为　(　　)

A.[-2,1)∪[4,7)    B.(-2,1]∪(4,7]

C.(-2,-1]∪[4,7)    D.[-2,1)∪(4,7]

【解析】选D.由

得

所以得[-2,1)∪(4,7]

5.(2016·上饶高二检测)若关于x的不等式-<a2-4a有实数解,则实数a的取值范围为　(　　)

A.(1,3)        B.(-∞,1)∪(3,+∞)

C.(-∞,-3)∪(-1,+∞)    D.(-3,-1)

【解析】选B.设f(x)=|x+1|-|x-2|.

(1)当x<-1时,f(x)=-(x+1)+x-2=-3.

(2)当-1≤x<2时,f(x)=x+1+x-2=2x-1,

此时-3≤f(x)<3.

(3)当x≥2时,f(x)=x+1-(x-2)=3.

综上:函数f(x)=|x+1|-|x-2|的最小值是-3;关于x的不等式-<a2-4a有实数解等价于-3<a2-4a,即a2-4a+3>0,解得a<1或a>3.

6.当x>1时,不等式x-2+≥a恒成立,则实数a的取值范围是　(　　)

A.(-∞,0]      B.[0,+∞)

C.[1,+∞)      D.(-∞,1]

【解析】选D.由已知得a≤.

因为x>1,所以x-1>0,

所以x-2+=x-1+-1≥

2-1=1,

所以=1,所以a≤1.

二、填空题(每小题4分,共12分)

7.已知x2+2y2=1,则x2y4-1的最大值是________.

【解析】因为x2+2y2=1,所以x2+y2+y2=1,

又x2·y2·y2≤=.

所以x2y4-1≤-1=-,

故x2y4-1的最大值为-.

答案:-

8.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为________.

【解题指南】先求(x+y)的最小值,只需≥9即可.

【解析】(x+y)=1+a++≥1+a+2,所以1+a+2≥9,即a+2-8≥0,

故a≥4.

答案:4

9.如果关于x的不等式|x-2|+|x+3|≥a的解集为R,则a的取值范围是__________.

【解析】|x-2|+|x+3|表示数轴上的x点到2和-3点的距离之和,其最小值等于5,

故当a≤5时关于x的不等式|x-2|+|x+3|≥a的解集为R.

答案:(-∞,5]

三、解答题(每小题10分,共30分)

10.设不等式|x+1|≤a的解集为A,不等式|x-1|+|2-x|>2的解集为B,若A∪B=R,求实数a的取值范围.

【解题指南】求解|x+1|≤a,需要对a进行分类讨论.

【解析】当a<0时,集合A=;

当a≥0时,集合A={x|-a-1≤x≤a-1}.

可求得集合B=.

因为A∪B=R,所以a≥0.

此时A={x|-a-1≤x≤a-1}.

把集合A,B在数轴上表示出来,如图,

因此有-a-1≤且≤a-1,即a≥.

因此,所求a的取值范围为.

11.(2016·郑州高二检测)已知函数f(x)=|2x-1|+|x-2a|.

(1)当a=1时,求f(x)≤3的解集.

(2)当x∈[1,2]时,f(x)≤3恒成立,求实数a的取值范围.

【解析】(1)当a=1时,原不等式可化为|2x-1|+|x-2|≤3,依题意,当x>2时,不等式即3x-3≤3,则解得x≤2,综合可得,x无解.

当≤x≤2时,不等式即x+1≤3,解得x≤2,

综合可得,≤x≤2.

当x<时,不等式即3-3x≤3,解得x≥0,

综合可得0≤x<.

综上所述:原不等式的解集为[0,2].

(2)原不等式可化为|x-2a|≤3-|2x-1|,

因为x∈[1,2],所以|x-2a|≤4-2x,

即2x-4≤2a-x≤4-2x,故3x-4≤2a≤4-x,对x∈[1,2]恒成立,

当1≤x≤2时,3x-4的最大值2,4-x的最小值2,所以a=1,即a的取值范围为{1}.

12.某集团投资兴办甲、乙两个企业,2014年甲企业获得利润320万元,乙企业获得利润720万元,以后每年甲企业的利润以上年利润1.5倍的速度递增,而乙企业是上年利润的.预期目标为两企业年利润之和是1600万元,从2014年年初起:

(1)哪一年两企业获利之和最小?

(2)需经过几年即可达到预定目标(精确到1年)?

【解析】(1)设从2014年起,第n年获利为

yn=320+720

≥2

=2×480=960,

当且仅当320·=720,

即·=,

n=2时取等号.

所以第二年,即2015年两企业获得利润之和最少,共960万元.

(2)依题意有:320+720≥1600,

即4+9≥20.

设=t(t≥1),

则原不等式化为4t2-20t+9≥0,

解得t≥,或t≤(舍去).

于是≥,n≥1+lo

=2+lo3>2+lo=4.

所以n=5,即经过5年可达到预期目标.

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