人教版新课标A选修4-5第二讲 讲明不等式的基本方法二 综合法与分析法同步练习题

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课时提升作业 七

综合法与分析法

一、选择题(每小题6分,共18分)

1.(2016·淄博高二检测)已知p:ab>0,q:+≥2,则p与q的关系是　(　　)

A.p是q的充分而不必要条件

B.p是q的必要而不充分条件

C.p是q的充要条件

D.以上答案都不对

【解析】选C.若ab>0,则>0,>0,

所以+≥2=2,当且仅当a=b时等号成立.反之,若+≥2,即≥2,所以ab>0.

综合上述,p是q的充要条件.

2.(2016·商丘高二检测)设<<<1,则　(　　)

A.aa<ab<ba　　　　　    B.aa<ba<ab

C.ab<aa<ba        D.ab<ba<aa

【解析】选C.由<<<1,可得0<a<b<1,根据指数函数、幂函数性质,有ab<aa<ba.

3.设a>b>0,m=-,n=,则　(　　)

A.m<n         B.m>n

C.m=n         D.不能确定

【解析】选A.因为a>b>0,

所以>,所以->0,>b.

(-)2-()2=a+b-2-(a-b)

=2(b-)<0.所以(-)2<()2.

所以-<,即m<n.

二、填空题(每小题6分,共12分)

4.设y=-,x=-,则x,y的大小关系是________.

【解析】y=-=,x=-=,

因为+>+>0,所以x>y.

答案:x>y

5.已知a>0,b>0且a+b=1,则++与8的大小关系是________.

【解析】因为a>0,b>0且a+b=1,

所以1=a+b≥2>0,

进而得≥2,于是得≥4.

又因为++===2·≥8.

故++≥8.

答案:++≥8

三、解答题(每小题10分,共30分)

6.(2016·德州高二检测)已知x>0,y>0,x+y=1,

求证:≥9.

【证明】因为x>0,y>0,x+y=1,

所以

==

=5++≥5+2=9,当且仅当x=y时等号成立.所以≥9.

7.设a>0,b>0,c>0.证明:

(1)+≥.

(2)++≥++.

【证明】(1)因为a>0,b>0,

所以(a+b)≥2·2=4.

所以+≥.

(2)由(1)知+≥,

同时,+≥,+≥,三式相加得:

2≥++,

所以++≥++.

8.(用分析法或者综合法证明)已知a>6,求证:-<-.

【证明】要证-<-,

只需证明:+<+,

只需证明:<,

只需证明:(a-3)(a-6)<(a-4)(a-5),

只需证明:a2-9a+18<a2-9a+20,

只需证明:18<20,显然成立,

所以a>6时,-<-.

【补偿训练】已知a>0,->1,求证:>.

【证明】要证明>,

只需证>1,即(1+a)(1-b)>1.

只要证a-b-ab>0成立.

因为a>0,->1.所以a>0,b>0,>0,

所以a-b-ab>0成立.故>成立.

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.已知x>0,y>0,则下列关系式成立的是　(　　)

A.(x2+y2>(x3+y3

B.(x2+y2=(x3+y3

C.(x2+y2<(x3+y3

D.(x2+y2≤(x3+y3

【解析】选A.(x2+y2>(x3+y3成立,

下面证明:要证明(x2+y2>(x3+y3,

只需证(x2+y2)3>(x3+y3)2,即证x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6,

即证3x4y2+3x2y4>2x3y3.

因为x>0,y>0,所以x2y2>0,即证3x2+3y2>2xy.

因为3x2+3y2>x2+y2≥2xy,所以3x2+3y2>2xy成立.所以(x2+y2>(x3+y3.

2.(2016·青岛高二检测)设a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是

(　　)

A.a2+b2+c2≥2　　　　　   B.(a+b+c)2≥3

C.++≥2      D.abc(a+b+c)≤

【解析】选B.因为a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,

所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥3(ab+bc+ca)=3.当且仅当a=b=c时取等号.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是________.

【解析】用分析法比较,a>b⇔+>+⇔8+2>8+2.同理可比较得b>c.所以a>b>c.

答案:a>b>c

4.当c>0,m=-,n=-时,m,n的大小关系是________.

【解析】由<=,得+<2,

即-<-,即m<n.

答案:m<n

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.若不等式++>0在条件a>b>c时恒成立,求实数λ的取值范围.

【解析】不等式可化为+>.

因为a>b>c.所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,

所以λ<+恒成立.

因为+=+

=2++≥2+2=4.所以λ<4.

故实数λ的取值范围是(-∞,4).

6.(2016·成都高二检测)已知a,b是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞).

求证:+≥,指出等号成立的条件.

【证明】+-

==≥0.当且仅当ay=bx时等号成立.

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