人教版新课标A选修4-5二 一般形式的柯西不等式同步训练题

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课时提升作业 十

一般形式的柯西不等式

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.(2016·珠海高二检测)已知a,b,c,x,y,z为正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,

ax+by+cz=20,则=　(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【解析】选C.由已知得

(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,

结合柯西不等式,知===,所以=.

2.已知x,y,z是非负实数,若9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值是　

(　　)

A.9    B.10    C.14    D.15

【解析】选A.因为(3x+6y+5z)2≤[12+()2+()2]·[(3x)2+(2y)2+(z)2]

=9(9x2+12y2+5z2)=81,所以3x+6y+5z≤9.当且仅当x=,y=,z=1时,等号成立.

故u=3x+6y+5z的最大值为9.

3.已知a2+b2+c2=1,若a+b+c≤|x+1|对任意实数a,b,c恒成立,则实数x的取值范围是　(　　)

A.x≥1或x≤-3      B.-3≤x≤1

C.x≥-1或x≤3      D.-1≤x≤3

【解题指南】根据题目中的a2+b2+c2=1和a+b+c≤|x+1|的结构形式,可以联想使用柯西不等式.

【解析】选A.由柯西不等式得:(a2+b2+c2)(1+1+2)≥(a+b+c)2,

所以a+b+c≤2,又因为a+b+c≤|x+1|,

所以|x+1|≥2,解之得x≥1或x≤-3.

二、填空题(每小题4分,共8分)

4.已知x,y,z∈R,且2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为______.

【解析】因为[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](4+4+1)

≥(2x+2y+z-1)2=81,

所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9.

答案:9

5.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是________.

【解析】(a+b+c)=

[()2+()2+()2]≥

=(2+3+6)2=121.

当且仅当==时等号成立.

答案:121

三、解答题

6.(10分)(2016·深圳高二检测)已知定义在R上的函数f(x)=+的最小值为a,又正数p,q,r满足p+q+r=a.求证p2+q2+r2≥3.

【证明】因为f(x)=+≥=3,

即函数f(x)=+的最小值a=3.

所以p+q+r=3.

由柯西不等式得

(p2+q2+r2)(1+1+1)≥(p+q+r)2=9,

于是p2+q2+r2≥3.

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是　(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.6　　　　　D.3

【解析】选B.由柯西不等式,得

(12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2]

≥[x+y+(1-x-y)]2=1.

即x2+y2+(1-x-y)2≥.

当且仅当x=y=1-x-y.

即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值.

【补偿训练】(2015·珠海高二检测)已知++…+=1,++…+=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是　(　　)

A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4

【解析】选A.因为(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(++…+)×(++…+)=1×1.当且仅当==…=时,等号成立.

所以a1x1+a2x2+…+anxn的最大值为1.

2.(2016·长沙高二检测)已知α为锐角,则的最小值为

(　　)

A.3-2        B.3+2

C-1         D.+1

【解析】选B.

≥,

当且仅当sinα=cosα时等号成立,

此时==3+2.

即的最小值为3+2.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.方程2+=的解为________.

【解题指南】利用柯西不等式等号成立的条件构建方程求解.

【解析】由柯西不等式,得(2+)2

=

≤[22+()2]

=6×=15,

即2+≤.

当且仅当=,

即x=-时,等号成立.

故原方程的根是x=-.

答案:x=-

4.(2016·西安高二检测)边长为a,b,c的三角形ABC,其面积为,外接圆半径为1,若s=++,t=++,则s与t的大小关系是________.

【解析】由已知得absinC=,=2R=2.

所以abc=1,所以++=ab+bc+ca,

由柯西不等式得(ab+bc+ca)≥(++)2,

所以≥(++)2.

即++≥++.

当且仅当a=b=c=1时等号成立.

答案:s≤t

三、解答题

5.(10分)(2016·石家庄高二检测)设a1>a2>…>an>an+1,求证:++…++>0.

【证明】为了运用柯西不等式,我们将a1-an+1写成

a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1),

于是[(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)]·≥n2>1.

即(a1-an+1)·(++…+)>1,

所以++…+>,故++…++>0.

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