2021学年三 反证法与放缩法习题

 www.ks5u.com第二讲  证明不等式的基本方法

2.3  反证法与放缩法

A级　基础巩固

一、选择题

1．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是(　　)

A.＝　　　　　　　 B. ＜

C. ＝，且＜   D. ＝或＜

解析：应假设≤，即＝或＜.

答案：D

2．实数a，b，c不全为0的等价命题为(　　)

A．a，b，c均不为0

B．a，b，c中至多有一个为0

C．a，b，c中至少有一个为0

D．a，b，c中至少有一个不为0

答案：D

3．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是(　　)

A．假设a，b，c都是偶数

B．假设a，b，c都不是偶数

C．假设a，b，c至多有一个偶数

D．假设a，b，c至多有两个偶数

解析：至少有一个是的否定为都不是．

答案：B

4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)

A．至少有一个不大于2  B．都小于2

C．至少有一个不小于2  D．都大于2

解析：因为a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于2.

答案：C

5．若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为(　　)

A．(－3，1)   B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

C．∅   D．(0，1)

解析：不等式x2－2ax＋＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则Δ＝(－2a)2－4a＜0，即a2－a＜0，解得0＜a＜1，

所以不等式at2＋2t－3＜1转化为t2＋2t－3＞0，解得t＜－3或t＞1.

答案：B

二、填空题

6．某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数f(x)在0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|＜，那么它的假设应该是________．

答案：假设|f(x1)－f(x2)|≥

7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．

解析：因为＜＝＜＝1，

所以lg 9·lg 11＜1.

答案：lg 9·lg 11＜1

8．设a，b，c均为正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于零”的________条件．

解析：必要性是显然成立的；当PQR＞0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P＞0，Q＜0，R＜0，则Q＋R＝2c＜0，这与c＞0矛盾，即充分性也成立．

答案：充要

三、解答题

9．已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：，中至少有一个小于2.

证明：(反证法)设≥2，≥2，

则

由①②式可得2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，与题设矛盾．

所以，中至少有一个小于2.

10．设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋.证明：

(1)a＋b≥2；

(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．

证明：由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1.

(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.

(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，

则由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1；

同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾．

故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．

B级　能力提升

1．若a＞0，b＞0，满足ab≥1＋a＋b ，那么(　　)

A．a＋b有最小值2＋2 B．a＋b有最大值(＋1)2

C．ab有最大值＋1   D．ab有最小值2＋2

解析：1＋a＋b≤ab≤，

所以(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，

解得a＋b≤2－2或a＋b≥2＋2，

因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2＋2，故选A.

答案：A

2．设x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤100，则＋的最小值为________．

解析：因为≥≥，且≥，

所以＋≥＋≥2 ＝，

当且仅当x＝1，y＝z＝10，t＝100时，等号成立．

答案：

3．若数列{an}的通项公式为an＝n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有＋＋…＋<.

证明：①当n＝1时，＝1<，所以原不等式成立．

②当n＝2时，

＋＝1＋<，所以原不等式成立．

③当n≥3时，

因为n2>(n－1)·(n＋1)，所以<.

＋＋…＋＝＋＋…＋<1＋＋＋…＋＋＝1＋＋＋＋…＋＋＝1＋

＝1＋＝＋(－－)<.

所以当n≥3时，所以原不等式成立．

综上所述，对一切正整数n，有＋＋…＋<.