人教版新课标A选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式二 绝对值不等式2.绝对值不等式的解法习题

学业分层测评（八）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用(　　)

①结论相反的判断，即假设；

②原命题的条件；

③公理、定理、定义等；

④原结论．

A．①②　　B．①②④　　C．①②③　　D．②③

【解析】　由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．

【答案】　C

2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是(　　)

A.＝

B.＜

C.＝且＜

D.＝或＜

【解析】　应假设≤，

即＝或＜.

【答案】　D

3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：

①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；

②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；

③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．

其中判断正确的个数为(　　)

A．0个　　　B．1个  C．2个　　　D．3个

【解析】　对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对；

对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．

【答案】　C

4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝，N＝(a＋c)·(a＋b)，则(　　)

A．M≥N   B．M≤N

C．M>N D.M<N

【解析】　依题意易知1－a,1－b,1－c∈R＋，由均值不等式知≤[(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]＝，∴(1－a)(1－b)(1－c)≤，

从而有≥(1－b)(1－c)，即M≥N，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．故选A.

【答案】　A

5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)

A．至少有一个不大于2

B．都小于2

C．至少有一个不小于2

D．都大于2

【解析】　∵a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，

∴a，b，c三者中至少有一个不小于2.

【答案】　C

二、填空题

6．若要证明“a，b至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________.

【导学号：32750042】

【答案】　a，b中没有任何一个为正数(或a≤0且b≤0)

7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．

【解析】　∵lg 9＞0，lg 11＞0，

∴＜＝＜＝1，

∴lg 9·lg 11＜1.

【答案】　lg 9·lg 11＜1

8．设M＝＋＋＋…＋，则M与1的大小关系为________．

【解析】　∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210，

∴M＝＋＋＋…＋

＜＝1.

【答案】　M＜1

三、解答题

9．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，求c的最大值．

【解】　2a＋b＝2a＋2b≥2，当且仅当a＝b时，即2a＋b≥4时取“＝”，

由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，

得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，

∴2c＝＝1＋≤1＋＝，

故c≤log2＝2－log23.

10．已知n∈N＋，求证：<＋＋…＋<.

【证明】　k<<＝(2k＋1)(k＝1,2，…，n)．

若记Sn＝＋＋…＋，则

Sn>1＋2＋…＋n＝，

Sn<(3＋5＋…＋2n＋1)＝(n2＋2n)<.

[能力提升]

1．否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为(　　)

A．a，b，c都是奇数

B．a，b，c都是偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

【解析】　三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、两偶一奇、两奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“两奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．

【答案】　D

2．设x，y都是正实数，且xy－(x＋y)＝1，则(　　)

A．x＋y≥2(＋1)   B．xy≤＋1

C．x＋y≤(＋1)2 D.xy≥2(＋1)

【解析】　由已知

(x＋y)＋1＝xy≤，

∴(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.

∵x，y都是正实数，

∴x＞0，y＞0，

∴x＋y≥2＋2＝2(＋1)．

【答案】　A

3．已知a＞2，则loga(a－1)loga(a＋1)________1(填“＞”“＜”或“＝”)．

【解析】　∵a＞2，

∴loga(a－1)＞0，loga(a＋1)＞0.

又loga(a－1)≠loga(a＋1)，

∴

＜，

而＝loga(a2－1)

＜logaa2＝1，

∴loga(a－1)loga(a＋1)＜1.

【答案】　＜

4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2·an(n∈N＋),

【导学号：32750043】

(1)求a2，a3，并求数列{an}的通项公式；

(2)设cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜.

【解】　(1)∵a1＝2，an＋1＝2·an(n∈N＋)，

∴a2＝22·a1＝16，a3＝2·a2＝72.

又∵＝2·，n∈N＋，

∴为等比数列．

∴＝·2n－1＝2n，

∴an＝n2·2n.

(2)证明：cn＝＝，

∴c1＋c2＋c3＋…＋cn

＝＋＋＋…＋

＜＋＋＋·

＝＋·

＜＋·＝＋

＝＝＜＝，所以结论成立．