人教版新课标A选修4-5一 数学归纳法综合训练题

学业分层测评（十二）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于(　　)

A. B.＋

C.＋   D.＋＋

【解析】　因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.故选D.

【答案】　D

2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于(　　)

A．1   B．2

C．3 D.0

【解析】　边数最少的凸n边形是三角形．

【答案】　C

3．已知a1＝，an＋1＝，猜想an等于(　　)

【导学号：32750066】

A.   B.

C.   D.

【解析】　a2＝＝，

a3＝＝，

a4＝＝＝，

猜想an＝.

【答案】　D

4．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是(　　)

A．2k＋1   B.

C．2(2k＋1)   D.

【解析】　当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)…(k＋k)·＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·2(2k＋1)．

【答案】　C

5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)等于f(k)加上(　　)

A.   B．π

C．2π   D.π

【解析】　从n＝k到n＝k＋1时，

内角和增加π.

【答案】　B

二、填空题

6．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n个式子应为________．

【答案】　1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2

＝(－1)n＋1·

7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．

【解析】　∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，

∴n＝k＋1时为使用归纳假设，

应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1.

【答案】　1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1

8．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被14整除，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________．

【解析】　34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.

【答案】　81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1

三、解答题

9．用数学归纳法证明：

…＝(n≥2，n∈N＋)．

【证明】　(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝.

∴等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立，

即…＝(k≥2，k∈N＋)．

当n＝k＋1时，

…

＝·＝

＝＝，

∴当n＝k＋1时，等式成立．

根据(1)和(2)知，对n≥2，n∈N＋时，等式成立．

10．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，整式an－bn都能被a－b整除．

【证明】　(1)当n＝1时，an－bn＝a－b能被a－b整除．

(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，ak－bk能被a－b整除，那么当n＝k＋1时，ak＋1－bk＋1＝ak＋1－akb＋akb－bk＋1＝ak(a－b)＋b(ak－bk)．因为(a－b)和ak－bk都能被a－b整除，所以上面的和ak(a－b)＋b(ak－bk)也能被a－b整除．这也就是说当n＝k＋1时，ak＋1－bk＋1能被a－b整除．

根据(1)(2)可知对一切正整数n，an－bn都能被a－b整除．

[能力提升]

1．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)

【导学号：32750067】

A.   B.

C.＋   D.－

【解析】　因为f(n)＝＋＋…＋，

所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，

所以f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－.

【答案】　D

2．某同学回答“用数学归纳法证明＜n＋1(n∈N＋)的过程如下：

证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的：

(2)假设n＝k时有＜k＋1，那么当n＝k＋1时，＝＜＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时命题是正确的．由(1)(2)可知对于n∈N＋，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于(　　)

A．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设

B．归纳假设的写法不正确

C．从k到k＋1的推理不严密

D．当n＝1时，验证过程不具体

【解析】　证明＜(k＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设＜k＋1.

【答案】　A

3．用数学归纳法证明22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，且n＞1)时，第一步应验证n＝________，当n＝k＋1时，左边的式子为________．

【解析】　∵所证明的等式为

22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，n＞1)．

又∵第一步验证的值应为第一个值(初始值)，

∴n应为2.

又∵当n＝k＋1时，等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的n换成k＋1，

即22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2.

【答案】　2　22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2

4．是否存在常数a，b，c使等式(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立？证明你的结论．

【解】　存在．分别用n＝1,2,3代入，解方程组得

故原等式右边＝－.

下面用数学归纳法证明．

(1)当n＝1时，由上式可知等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k4－k2.

则当n＝k＋1时，

左边＝[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)·[(k＋1)2－(k＋1)2]＝(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝k4－k2＋(2k＋1)·＝(k＋1)4－(k＋1)2，故n＝k＋1时，等式成立．

由(1)(2)得等式对一切n∈N＋均成立．