人教版新课标A选修4-5第三讲 柯西不等式与排序不等式三 排序不等式课时练习

学业分层测评（十一）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．设a≥b>0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是(　　)

A．P>Q　　B．P≥Q　　C．P<Q　　D．P≤Q

【解析】　∵a≥b>0，∴a2≥b2>0.

因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)，

则P≥Q.

【答案】　B

2．设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为(　　)

A．反序和≥乱序和≥顺序和

B．反序和＝乱序和＝顺序和

C．反序和≤乱序和≤顺序和

D．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定

【答案】　C

3．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则＋＋的最小值为(　　)

A．3   B．6

C．9 D.12

【解析】　设a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，由乱序和不小于反序和知，

＋＋≥＋＋＝3，

∴＋＋的最小值为3，故选A.

【答案】　A

4．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为(　　)

A．A＞B  B．A＜B

C．A≥B D.A≤B

【解析】　依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.故选C.

【答案】　C

5．已知a，b，c为正实数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是(　　)

A．大于零  B．大于等于零

C．小于零 D.小于等于零

【解析】　设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，

根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.

又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，

∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，

即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.

【答案】　B

二、填空题

6．若a，b，c∈R＋，则＋＋________a＋b＋c.

【解析】　不妨设a≥b≥c＞0，则bc≤ca≤ab，≤≤，

∴＋＋≥＋＋＝a＋b＋c.

【答案】　≥

7．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.

【解析】　等候的最短时间为：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)．

【答案】　41

8．设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，则＋＋的最小值为________.

【导学号：32750058】

【解析】　不妨设a3>a1>a2>0，则<<，

所以a1a2<a2a3<a3a1.

设乱序和S＝＋＋＝a1＋a2＋a3＝1，

顺序和S′＝＋＋.

由排序不等式得＋＋≥a1＋a2＋a3＝1，

所以＋＋的最小值为1.

【答案】　1

三、解答题

9．设a，b，c大于0，求证：

(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；

(2)＋＋≤.

【证明】　(1)不妨设a≥b≥c>0，

则a2≥b2≥c2>0，

∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a，

∴a3＋b3≥ab(a＋b)．

(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，

所以＋＋

≤＋

＋

＝

＝·＝.

故原不等式得证．

10．已知a，b，c都是正数，求＋＋的最小值．

【解】　由对称性，不妨设0＜c≤b≤a，则有a＋b≥a＋c≥b＋c＞0，所以0＜≤≤.

由排序不等式得

＋＋

≥＋＋，①

＋＋≥＋＋.②

由①②知2≥3，

∴＋＋≥.

当且仅当a＝b＝c时，＋＋取最小值.

[能力提升]

1．锐角三角形中，设P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，则P，Q的关系为(　　)

A．P≥Q   B．P＝Q

C．P≤Q D.不能确定

【解析】　不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，

cos A≤cos B≤cos C，则由排序不等式有Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A

＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A)

≥R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]

＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝＝P.

【答案】　C

2．已知a＋b＋c＝1，a，b，c为正数，则＋＋的最小值是________．

【解析】　不妨设a≥b≥c，∴≥≥，

∴＋＋≥＋＋，①

＋＋≥＋＋，②

①＋②得＋＋≥，

∴＋＋≥.

【答案】　

3．在Rt△ABC中，∠C为直角，A，B所对的边分别为a，b，则aA＋bB与(a＋b)的大小关系为________.

【导学号：32750059】

【解析】　不妨设a≥b＞0，

则A≥B＞0，由排序不等式

⇒2(aA＋bB)≥a(A＋B)＋b(A＋B)

＝(a＋b)，

∴aA＋bB≥(a＋b)．

【答案】　aA＋bB≥(a＋b)

4．已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．

【证明】　∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在上为增函数，y＝cos x在上为减函数，

∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.

根据排序不等式得：乱序和>反序和．

∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α

>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ

＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．

故原不等式得证．