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高中数学人教版新课标A选修4-5一 二维形式的柯西不等式课堂检测
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学业分层测评(九)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.若a2+b2=1,x2+y2=2,则ax+by的最大值为( )A.1 B.2C. D.4【解析】 ∵(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)=2,∴ax+by≤.【答案】 C2.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则( )A.ab≤ B.ab≥C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤3【解析】 ∵(12+12)(a2+b2)≥(a+b)2=4,∴a2+b2≥2.【答案】 C3.已知a,b∈R+,且a+b=1,则P=(ax+by)2与Q=ax2+by2的关系是( ) 【导学号:32750050】A.P≤Q B.P<QC.P≥Q D.P>Q【解析】 设m=(x,y),n=(,),则|ax+by|=|m·n|≤|m||n|=·=·=,∴(ax+by)2≤ax2+by2,即P≤Q.【答案】 A4.若a,b∈R,且a2+b2=10,则a-b的取值范围是( )A.[-2,2] B.[-2,2]C.[-,] D.(-,)【解析】 (a2+b2)[12+(-1)2]≥(a-b)2.∵a2+b2=10,∴(a-b)2≤20.∴-2≤a-b≤2.【答案】 A5.若a+b=1且a,b同号,则2+2的最小值为( )A.1 B.2C. D.【解析】 +=a2+2++b2+2+=(a2+b2)+4.∵a+b=1,ab≤=,∴a2+b2=(a2+b2)·(1+1)≥·(a+b)2=,1+≥1+42=17,∴+≥+4=.【答案】 C二、填空题6.设实数x,y满足3x2+2y2≤6,则P=2x+y的最大值为________.【解析】 由柯西不等式得(2x+y)2≤[(x)2+(y)2]·=(3x2+2y2)·≤6×=11,于是2x+y≤.【答案】 7.设xy>0,则·的最小值为________.【解析】 原式=≥=9(当且仅当xy=时取等号).【答案】 98.设x,y∈R+,且x+2y=8,则+的最小值为________.【解析】 (x+2y)=[()2+()2][+]≥=25,当且仅当·=·,即x=,y=时,“=”成立.又x+2y=8,∴+≥.【答案】 三、解答题9.已知θ为锐角,a,b均为正实数.求证:(a+b)2≤+.【证明】 设m=,n=(cos θ,sin θ),则|a+b|==|m·n|≤|m||n|= ·= ,∴(a+b)2≤+.10.已知实数a,b,c满足a+2b+c=1,a2+b2+c2=1,求证:-≤c≤1.【证明】 因为a+2b+c=1,a2+b2+c2=1,所以a+2b=1-c,a2+b2=1-c2.由柯西不等式得(12+22)(a2+b2)≥(a+2b)2,当且仅当b=2a时,等号成立,即5(1-c2)≥(1-c)2,整理得3c2-c-2≤0,解得-≤c≤1.[能力提升]1.函数y=+2的最大值是( )A. B. C.3 D.5【解析】 根据柯西不等式,知y=1×+2×≤×=.【答案】 B2.已知4x2+5y2=1,则2x+y的最大值是( )A. B.1 C.3 D.9【解析】 ∵2x+y=2x·1+y·1≤·=·=.∴2x+y的最大值为.【答案】 A3.函数f(x)=+的最大值为______.【导学号:32750051】【解析】 设函数有意义时x满足≤x2≤2,由柯西不等式得[f(x)]2=≤(1+2)=,∴f(x)≤,当且仅当2-x2=,即x2=时取等号.【答案】 4.在半径为R的圆内,求内接长方形的最大周长.【解】 如图所示,设内接长方形ABCD的长为x,宽为,于是 ABCD的周长l=2(x+)=2(1·x+1×).由柯西不等式l≤2[x2+()2](12+12)=2·2R=4R,当且仅当=,即x=R时,等号成立.此时,宽==R,即ABCD为正方形,故内接长方形为正方形时周长最大,其周长为4R.
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