江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期期中考试数学（文）试题 Word版含解析

这是一份江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期期中考试数学（文）试题 Word版含解析，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题）
设集合A={x|x2+2x-3=0}，B={-3，-1，1，3}，则A∩B=（ ）
A. B. C. D.
=（ ）
A. B. C. iD. 2i
“0＜x＜1”是“lg2（x+1）＜1”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件
已知tanα=，且α∈（π，），则cs（α-）=（ ）
A. B. C. D.
已知非零向量，满足|+|=||，且（-）•=0，则，的夹角为（ ）
A. B. C. D.
将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则=（ ）
A. B. C. D.
已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若，b1+b6+b11=7π，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x=2，类比上述结论可得lg2[2+lg2（2+lg2（2+…））]的正值为（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为（ ）
A. B. C. D.
函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
△ABC中，A（-5，0），B（5，0），点C在双曲线上，则=（ ）
A. B. C. D.
已知函数f（x）=ex-ax有两个零点x1，x2，则下列判断：①a＜e；②x1+x2＜2；③x1•x2＞1；④有极小值点x0，且x1+x2＜2x0．则正确判断的个数是（）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知向量=（x，x-2），=（3，4），若，则向量的模为______．
已知α，β均为锐角且tanα=7，，则α+β=______．
设D为△ABC所在平面内一点，=-+，若=λ（λ∈R），则λ=______．
已知函数，g（x）=mx+1，若f（x）与g（x）的图象上存在关于直线y=1对称的点，则实数m的取值范围是______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，S5=25．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求∠B的值；
（2）若a=4，，求△ABC的面积．
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SB=SD．
（1）证明：BD⊥SA；
（2）若面SBD⊥面ABCD，SB⊥SD，∠BAD=60°，AB=1，求B到平面SAD的距离．
已知函数f（x）=ax-sinx-1，x∈[0，π]．
（1）若，求f（x）的最大值；
（2）当时，求证：f（x）+csx≤0．
已知抛物线C1的方程为x2=2y，其焦点为F，AB为过焦点F的抛物线C1的弦，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P．
（1）求的值；
（2）如果圆C2的方程为x2+y2=8，且点P在圆C2内部，设直线AB与C2相交于C，D两点，求|AB|•|CD|的最小值．
在极坐标系中，已知两点O（0，0），B（2，）．
（1）求以OB为直径的圆C的极坐标方程，然后化成直角方程；
（2）以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C相交于M，N两点，圆C的圆心为C，求△MNC的面积．
已知函数f（x）=|x+1|-m|x-2|（m∈R）．
（1）当m=3时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）当x∈[-1，2]时，不等式f（x）＜2x+1恒成立，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵A={-3，1}，B={-3，-1，1，3}，
∴A∩B={-3，1}．
故选：A．
可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：===i，
故选：C．
将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法法则进行化简．
本题考查两个复数相除的方法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．
3.【答案】A
【解析】解：由lg2（x+1）＜1得0＜x+1＜2，解得-1＜x＜1，
则“0＜x＜1”是“lg2（x+1）＜1”的充分不必要条件，
故选：A．
根据不等式之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：因为tana==，
所以csa=2sina，
所以cs2a=4sin2a，
因为sin2a+cs2a=1，
所以sin2a=，
因为α∈（π，），
所以sina＜0
sina=-．
故选：A．
利用同角三角函数关系解答．
本题主要考察了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．
5.【答案】C
【解析】解：由|+|=||，得，
由（-）•=0，得，
两式联立得，
所以===，
又∈[0°，180°]，
所以=60°，
故选：C．
把|+|=||平方展开，又（-）•=0，联立解出，再利用向量的夹角公式，求出角．
考查了向量数量积的运算，向量的夹角公式，联立解方程组，中档题．
6.【答案】D
【解析】解：将函数f（x）=cs（3x+）图象上所有的点向右平移个单位长度后，
得到函数g（x）=cs[3（x-）+]=cs（3x-）的图象，
则=cs（3×-）=cs=-．
故选：D．
利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用特殊角的三角函数值求解即可．
本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数求值，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等差数列和等比数列的中项性质和特殊角的正切函数值，考查运算能力，属于基础题．
​由等差数列和等比数列的中项性质，以及特殊角的正切函数值，可得所求值．
【解答】
解：数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，
若，b1+b6+b11=7π，
可得（a6)3=3，3b6=7π，
即有a6=，b6=π，
则=tan
​=tan=tan=​，
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可得x=lg2（2+x），x＞0，∴2x=x+2，解得x=2．
故选：C．
通过类比推理的方法，得到求值的方法：列方程，求解即可．
类比推理方法的前提是两种对象部分有共同属性，由特殊点向特殊点推理．通过类比推理考核研究问题的深度、思维发散情况和观察的仔细程度．属于中档题．
9.【答案】C
【解析】解：依题意，设A表示“从中任选2名学生去参加活动，恰好选中2名女生”，
则事件A包含的基本事件个数为=3种，
而基本事件的总数为=10，
所以P（A）=，
故选：C．
根据计数原理以及排列组合求出“恰好选中2名女生”包含的基本事件个数和基本事件的总数，即可得到所求．
本题考查了古典概型的概率，考查了计数原理和排列组合．考查分析解决问题的能力，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】【分析】
​本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题．
先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断．
【解答】
​解：由于f(x)=x+csx，
∴f(-x)=-x+csx，
∴f(-x)≠f(x)，且f(-x)≠-f(x)，故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；
又当x=时，x+csx=x，
即f(x)的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．
故选：B．
11.【答案】D
【解析】解：△ABC中，A（-5，0），B（5，0），点C在双曲线上，
∴A与B为双曲线的两焦点，
根据双曲线的定义得：|AC-BC|=2a=8，|AB|=2c=10，
则==±=±．
故选：D．
根据题意，求出△ABC的三边关系，再利用正弦定理化简，求出它的值即可．
本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，是难题．
利用函数的导数，判断函数的单调性，对四个选项分别进行判断，即可得出结论
【解答】
解：对于①，∵f（x）=ex-ax，
∴f'（x）=ex-a，令f'（x）=ex-a＞0，
当a≤0时，f'（x）=ex-a＞0在x∈R上恒成立，
∴f（x）在R上单调递增．
当a＞0时，∵f'（x）=ex-a＞0，∴ex-a＞0，解得x＞lna，
∴f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
∵函数f（x）=ex-ax有两个零点x1、x2，
∴a＞0，f（lna）＜0，
∴elna-alna＜0，
∴a＞e，所以①正确；
对于②，x1+x2=ln（a2x1x2）=2lna+ln（x1x2）＞2+ln（x1x2），
取a=，f（2）=e2-2a=0，∴x2=2，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，所以②正确；
对于③，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，∴所以③不正确；
对于④，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴有极小值点x0=lna，且x1+x2＜2x0=2lna，所以④正确．
综上，正确的命题序号是①②④．
故选B．
13.【答案】10
【解析】解：∵∥，∴4x-3（x-2）=0，解得x=-6，
∴=（-6，-8），∴||==10
故答案为：10
根据向量平行的坐标表示得到x=-6，然后根据向量模的定义求出向量的模，
本题考查了向量的概念与向量的模，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：∵tanα=7，，
∴tan（α+β）===-1．
又0＜α＜，0＜β＜，
∴0＜α+β＜π，则α+β=．
故答案为：．
由已知结合两角和的正切求得tan（α+β），再由角的范围求解α+β的值．
本题考查两角和的正切，考查由已知三角函数值求角，是基础题．
15.【答案】-3
【解析】解：D为△ABC所在平面内一点，=-+，
则：，
整理得：，
则：，
解得：，
若=λ，
则：λ=-3；
故答案为：-3．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．
16.【答案】[-，3e]
【解析】解：g（x）=mx+1关于直线y=1对称的直线为y=h（x）=1-mx，
∴直线y=1-mx与y=2lnx在[，e2]上有交点．
作出y=1-mx与y=2lnx的函数图象，
如图所示：
若直线y=1-mx经过点（，-2），
则m=3e，
若直线y=1-mx与y=2lnx相切，
设切点为（x，y）．
则，解得．
∴-≤m≤3e．
故答案为：[-，3e]．
求出g（x）关于直线y=1的对称函数h（x），令f（x）与h（x）的图象有交点得出m的范围．
本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．
17.【答案】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，S5=25．
则：，解得，
所以an=1+2（n-1）=2n-1．
（2）由于an=2n-1，
所以bn===．
则==．
【解析】（1）直接利用等差数列的定义求出数列的通项公式．
（2）利用数列的通项公式的求法及应用，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18.【答案】解：（1）法一：由正弦定理得，
∵，
∴sinBcsC+csBsinC-sinC=sinBcsC，
∴；
∵sinC≠0，∴，
∵B∈（0，π），∴.
（1）法二：由余弦定理得
化简得，
∴.
∵B∈（0，π），∴.
（2）由，得sinC==,
在△ABC中，
∵
，
由正弦定理，
得，
.
【解析】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．
（1）结合正弦定理或余弦定理进行化简，进行求解即可．
（2）求出sinC的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算即可．
19.【答案】（本小题满分12分）
证明：（1）连接AC交BD于O，连接SO．…………（1分）
在菱形ABCD中，BD⊥AC，O是BD的中点，
又因为SB=SD，所以BD⊥SO，又AC∩SO=O，
所以BD⊥面SAC…………（4分）
又SA⊂面SAC，所以BD⊥SA．…………（5分）
解：（2）因为面SBD⊥面ABCD，面SBD∩面ABCD=BD，SO⊥BD，SO⊂面SBD，
所以SO⊥面ABCD，即SO是三棱锥S-ABD的高．…………（7分）
依题意可得，△ABD是等边三角形，所以BD=AD=1，，
在等腰Rt△SBD，，
…………（9分）
经计算得，SA=1，
等腰三角形ASD的面积为…………（10分）
设B到平面SAD的距离为h，
则由VB-SAD=VS-ABD，得，解得，
所以B到平面SAD的距离为．…………（12分）
【解析】（1）连接AC交BD于O，连接SO，推导出BD⊥SO，BD⊥面SAC，由此能证明BD⊥SA．
（2）推导出SO是三棱锥S-ABD的高，设B到平面SAD的距离为h，由VB-SAD=VS-ABD，由此能求出B到平面SAD的距离．
本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20.【答案】（1）解：当时，，
由f′（x）=0，得，∴时，f′（x）＜0；时，f′（x）＞0，
因此f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为，
∴f（x）的最大值为=；
（2）证明：先证，
令，
则=，
由，x∈[0，π]与的图象易知，存在x0∈[0，π]，使得g'（x0）=0，
故x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；x∈（x0，π）时，g'（x）＞0，
∴g（x）的单调递减区间为（0，x0），单调递增区间为（x0，π），
∴g（x）的最大值为max{g（0），g（π）}，
而g（0）=0，g（π）=0．
又由，x≥0，∴，
当且仅当，取“=”成立，
即f（x）+csx≤0．
【解析】本题考查利用导数求函数的最值，考查函数恒等式的证明，考查数学转化思想方法，属难题．
（1）当时，，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在不同区间段内的符号确定函数单调性，求得函数极值点，进一步求得函数最值；
（2）利用导数证明，再由且x≥0时，，可得当时，f（x）+csx≤0．
21.【答案】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为，
所以设AB的方程为，
代入抛物线方程得x2-2kx-1=0，所以x1，x2为方程的解，从而x1+x2=2k，x1x2=-1，
又因为，，
因此kPA•kPB=x1x2=-1，即PA⊥PB，
所以．
（2）由（1）知x1x2=-1，联立C1在点A，B处的切线方程分别为，，
得到交点．
由点P在圆x2+y2=8内得，
又因为，
，其中d为O到直线AB的距离．
所以．
又AB的方程为，
所以d=，
令，由得m＜33．又由，所以m∈[2，33），
从而．
所以，当m=2时，．
【解析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的方程为，代入抛物线方程得x2-2kx-1=0，所以x1，x2为方程的解，从而x1x2=-1，利用函数的导数求解切线的斜率，然后求解．
（2）由（1）知x1x2=-1，联立C1在点A，B处的切线方程分别为，，
得到交点．判断点P在圆内，求出弦长AB，求出O到直线AB的距离的表达式d=，
利用构造法结合基本不等式求解最小值即可．
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
22.【答案】解：（1）设P（ρ，θ）为圆上任意一点，则|OP|=ρ，∠POB=θ-，
在Rt△POB中，cs（θ-）=，即，
∴ρ2=2ρ csθ+2ρ sinθ⋅，化为x2+y2=2x+2y，
∴圆C的直角坐标方程为 （x-1）2+（y-1）2=2．
（2）由直线l的参数方程消去参数t化为普通方程y=2x+1，
圆心C（1，1）到直线l的距离为d==，
弦长|MN|=2=，
∴S==．
【解析】（1）设出点P的坐标，利用Rt△OPB中的边角关系即可求出；
（2）求出圆心到直线的距离和弦长即可得出面积．
熟练掌握求圆的极坐标方程及与直角坐标方程的互化、直线与圆的相交弦长问题及点到直线的距离是解题的关键．
23.【答案】解：（1）当m=3时，f（x）=|x+1|-3|x-2|，
由f（x）＞1，
得或或，
解得：＜x≤2或2＜x＜3，
故不等式的解集是（，3）；
（2）当x∈[-1，2]时，f（x）=x+1-m（2-x），
f（x）＜2x+1恒成立，
即x+1-m（2-x）＜2x+1恒成立，
整理得：（2-x）m＞-x，
当x=2时，0＞-2成立，
当x∈[-1，2]时，m＞=1-，
令g（x）=1-，
∵-1≤x＜2，
∴0＜2-x≤3，
∴≥，
∴1-≤，
故g（x）max=，
故m＞．
【解析】（1）代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）问题转化为x+1-m（2-x）＜2x+1恒成立，当x∈[-1，2]时，m＞=1-，令g（x）=1-，求出g（x）的最大值，求出m的范围即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．