宁夏银川一中2020届高三第四次月考数学（理）试题 Word版含答案

银川一中2020届高三年级第四次月考

理 科 数 学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合,，若，则

   A．   B．     C．  D．

2．设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则

A．10          B．       C． D．-10

3．已知向量，若，则

   A．    B．1   C．2   D．3

4．设等差数列的前项和为，若，，则的公差为

A． B．          C． D．

5．已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确

的是（    ）

A．若，则　B．若，则

C. 若，则　　　　

D．若，，且，则

6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是

A．《雷雨》只能在周二上演               B．《茶馆》可能在周二或周四上演

C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》  D．四部话剧都有可能在周二上演

7．函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是

           A                   B                 C               D

8．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则

A．       B．       C． D．

9．已知满足约束条件，若目标函数的最大值为3，

则实数m的值为

A．-1   B．0        C．1      D．2

10．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，

侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接

球的表面积为

   A．      B．     C．     D．

11．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的范围是

A．        B．         C．         D．

12．若均为任意实数，且，则的最小值为

A．    B．    C．    D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．的内角的对边分别为，若，

则__________．

14．已知函数,若,则__________．

15．已知函数，且，则_______．

16．已知四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4，M为AB的中点，将沿DM折起，得到四棱锥，设的中点为N，在翻折过程中，得到如下三个命题：

①，且的长度为定值；

②三棱锥的体积最大值为；

③在翻折过程中，存在某个位置，使得

其中正确命题的序号为__________．

三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，

第22、23题为选考题.

（一）必考题：共60分

17.（12分）

已知函数，，，．的部分图像，如图所示，、分别为该图像的最高点和最低点，

点的坐标为．

（1）求的最小正周期及的值；

（2）若点的坐标为，，求的值．

18.（12分）

已知数列满足.

（1）证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

（2）设，求.

19．（12分）

如图，菱形的边长为，，与交于点．将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，

点是棱的中点，．

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求二面角的余弦值．

20．（12分）

如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，∥，，且，，是棱的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（3）设点是线段上的动点，与平面所成的角为，

求的最大值．

21．  （12分）

已知函数

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，已知圆： (为参数)，点在直线：上，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求圆和直线的极坐标方程；

（2）射线交圆于，点在射线上，且满足，求点轨迹的极坐标方程．

23．[选修4－5：不等式选讲]

已知函数，.

（1）若关于x的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集；

（2）若，若，使得成立，求实数k的取值范围.

银川一中2020届高三年级第四次月考（理科）参考答案

一、选择题：

二、填空题：

13．   14．0  15. -20   16. 

三、解答题：

17.（1）解：由题意得，                ………2分                       

 因为在的图象上，

 所以                                   ………4分   

又因为，所以                         ………6分  

   （2）解：设点Q的坐标为，由题意可知，得                                     ………8分

  连接PQ，在，由余弦定理得

………10分

 解得 又           ………12分

18．   解：（1）由

得 ，                             ……3分

所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以，即，        ………4分

当时，，由于也满足此式，

所以的通项公式．              ………6分

（2）由得， 所以                  ………8分   

……

…．     ……12分

19.解：（1）证明：是菱形，

,                         ………1分

中，,

又是中点，

                 ………3分

面面   ………5分 

又 平面

平面⊥平面                         ………6分

（2）由题意，,  又由（Ⅰ）知   建立如图所示空间直角坐标系，由条件易知  ……7分

     故  设平面的法向量，则

   即       令，则

     所以，                                  ………9分

     由条件易证平面，故取其法向量为   ………10分

     所以，                    ………11分 

由图知二面角为锐二面角，故其余弦值为     ………12分

20．解：（1）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则

，    ………1分

设平面的一个法向量为

则，令，得，

∴，即                            ………3分

∵平面∴∥平面．                ………4分

（2）取平面SAB的一个法向量，            ………5分   

则                 ………7分

∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．   …………8分

（3）设，则，平面的一个法向量为∴

      ……11分

当，即时，取得最大值，且．   …………12分

21.解（1）              ………1分

（ⅰ）时，当时，；当时，

所以f(x)在单调递减，在单调递增；                   ……2分

（ⅱ）时

若，则，所以f(x)在单调递增；……3分

若，则，故当时，，

，；所以f(x)在单调递增，在

单调递减；                                         ………5分

若，则，故当，，

，；所以f(x)在单调递增，在

单调递减；                                        ………6分 

（2）（ⅰ）当a>0,则由（1）知f(x)在单调递减，在单调递增，

又，，取b满足，且，

则，所以f(x)有两个零点；………8分

（ⅱ）当a=0,则，所以f(x)只有一个零点                    ………9分

（ⅲ）当a<0,若,则由（1）知，f(x)在单调递增。又当时，

     故f(x)不存在两个零点，                              ………10分

   ，则由（1）知，f(x)在单调递减，在单调递增

     又当，f(x)<0,故f(x)不存在两个零点。          ………11分

综上，a的取值范围为.                             ………12分

22．解：（1）圆的极坐标方程，                    ………3分

直线的极坐标方程＝.                        ………5分

 (2)设的极坐标分别为，

因为                             ………6分 

又因为，即                ………9分  

，       …………10分

23. 解：（1）由题意，不等式，即，所以，        

又由，解得，                                 

因为，所以，                                    ………2分

当时，，

不等式等价于，或，或，

即，或，或，

综上可得，故不等式的解集为[-4，4] .          ………5分   

（2）因为，

由，，可得， ………7分

又由，使得成立，则，   ………9分

解得或，故实数的取值范围为.       ………10分