四川省成都外国语学校2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

这是一份四川省成都外国语学校2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题）
设集合M＝{x|lg2（x﹣1）＜0}，集合N＝{x|x≥﹣2}，则M∪N＝（）
A. B. C. D.
sin225°的值为（ ）
A. B. C. D.
已知i是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（ ）
A. ,3B. 7,C. 7,D. ,3i
设x∈R，向量=（x，1），=（1，-2），且⊥，则|+|=（ ）
A. B. C. D.
某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
已知函数，则的值是（ ）
A. 27B. C. D.
已知，，c=lg20.7，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则f（x）=（ ）
A.
B.
C.
D.
大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入
A. n是偶数,
B. n是奇数,
C. n是偶数,
D. n是奇数,
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b=1，=，若A=2B，则△ABC的周长为（ ）
A. 3B. 4C. D.
已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2=45°，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
已知偶函数f（x）满足f（4＋x）＝f（4-x），且当x∈（0，4]时，，关于x的不等式f2（x）＋af（x）＞0在区间[-200，200]上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
设函数，若为奇函数，则曲线在点(0,0)处的切线方程为 ________________________.
已知实数x，y满足不等式组且z=2x-y的最大值为a，则=______．
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为______．
设Sn为数列{an}的前n项和，已知，，则an=______，S100=______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
已知数列{an}的前n项和Sn=（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an+lg2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率；
（2）从被抽取的年龄在[50，70]使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在[50，60）的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．
如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q．
（1）已知平面PAB∩平面PCD=l，求证：AB∥l．
（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值．
已知椭圆过点P（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；
（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．
函数f（x）=ksinx+2x+1（k∈R），
（1）讨论函数f（x）在区间（0，2π）上的极值点的个数；
（2）已知对任意的x＞0，ex＞f（x）恒成立，求实数k的最大值．
在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1经过点，曲线C2的极坐标方程为ρ2（2+cs2θ）=6．
（1）求曲线C1的极坐标方程；
（2）若，是曲线C2上两点，求的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：M={x|1＜x＜2}；
∴M∪N={x|x≥-2}．
故选：B．
可求出集合M，然后进行并集的运算即可．
考查对数函数的单调性，描述法表示集合的定义，以及并集的运算．
2.【答案】A
【解析】解：sin225°=sin（180°+45°）=-sin45°=-．
故选：A．
原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵z=，
∴复数的实部和虚部分别是7，-3．
故选：C．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：已知：，
由于：
所以：
所以：x-2=0
解得：x=2


所以：=
故选：A
首先根据向量垂直的充要条件求出的坐标，进一步求出，最后求出向量的模．
本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，向量的模，向量的加减运算，属于基础题型．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多．
【解答】
解：在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，故A 正确；
在B中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故B正确；
在C中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C正确；
在D中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D错误．
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：∵
∴=f（-3）=
故选B.
由已知中的函数的解析式，我们将代入，即可求出f（）的值，再代入即可得到的值．
本题考查的知识点是分段函数的函数值，根据分析函数的解析式，由内到外，依次代入求解，即可得到答案．
7.【答案】B
【解析】解：∵，，
∴，
∴0＜a＜b，又c=lg20.7＜0，
∴c＜a＜b，
故选：B．
对a，b用作商法比较大小，然后结合c＜0，可得大小关系．
本题考查了对数值大小的比较，作商法的应用是解题关键，属基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由图知，A=2，T=-，又ω＞0，
∴T==，∴ω=4，
又y=f（x）的图象经过（，-2），
∴4×+φ=2kπ+，k∈Z，
∴φ=2kπ+，k∈Z，
又|φ|＜π，∴φ=，
∴f（x）=2sin（4x+）．
故选：A．
由图知，得到A=2，求出T，根据周期公式求出ω，又y=f（x）的图象经过（，-2），
代入求出φ，从而得到解析式f（x）=2sin（4x+）．
本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查识图能力与运算能力，属于中档题．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了“大衍数列”的概念，以及数列的通项的判断，递推关系的应用.由题意得到数列的通项为，即可得到结果.
【解答】
解：∵根据大衍数列所给各项的数，得到：
，所以第一个判断框是：n是奇数.
∴当n=99时，不能结束，循环，输出a99，
当n=100时，此时a100还没有输出，不能结束，循环，输出a100，
n=101，此时结束循环，
所以第二个判断框是n＞100
故选D.
10.【答案】D
【解析】解：∵=，
∴由正弦定理可得=，整理可得b2+c2-a2=bc，
∴csA===，
∵A∈（0，π），
∴A=，
∵A=2B，
∴B=，C=π-A-B=，
∵b=1，
∴，解得a=，c=2，
∴△ABC的周长为a+b+c=3+．
故选：D．
由正弦定理化简已知可得b2+c2-a2=bc，利用余弦定理可求csA=，结合范围A∈（0，π），可求A，根据已知可求B，利用三角形内角和定理可求C，根据正弦定理可求a，c的值，即可得三角形的周长．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
11.【答案】A
【解析】解：设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，
由|ON|=a，且ON为△F1F2A的中位线，可得
|F2A|=2a，|F1N|==b，
即有|F1A|=2b，
在直角三角形MF2A中，可得|MF2|=2a，
即有|MF1|=2b+2a，
由双曲线的定义可得|MF1|-|MF2|=2b+2a-2a=2a，
可得b=a，
∴c==a，
∴e==．
故选：A．
设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，则c==a，进而得到离心率．
本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数单调性与不等式的解的关系，属于中档题．
根据f（x）的周期和对称性得出不等式在（0，4]上的整数解的个数为3，计算f（k）（k=1，2，3，4）的值得出a的范围．
​【解答】
解：∵偶函数f（x）满足f（x）满足f（4+x）=f（4-x），
∴f（x+4）=f（4-x）=f（x-4），
∴f（x）的周期为8，且f（x）的图象关于直线x=4对称．
由于[-200，200]上含有50个周期，且f（x）在每个周期内都是轴对称图形，
∴关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0在（0，4]上有3个整数解．
当x∈（0，4]时，f′（x）=，
∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，4）上单调递减，
∵f（1）=ln2，f（2）＞f（3）＞f（4）==ln2＞0，
∵当x=k（k=1，2，3，4）时，f（x）＞0，
∴当a≥0时，f2（x）+af（x）＞0在（0，4]上有4个整数解，不符合题意，
∴a＜0，
由f2（x）+af（x）＞0可得f（x）＜0或f（x）＞-a．
显然f（x）＜0在（0，4]上无整数解，
故而f（x）＞-a在（0，4]上有3个整数解，分别为1，2，3．
∴-a≥f（4）=，-a＜f（3）=，-a＜f（1）=ln2，
∴-＜a≤-ln2．
故选：D．
13.【答案】y=x
【解析】解：函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax．若f（x）为奇函数，
可得f（-x）+f（x）=-x3+（a-1）x2-ax+x3+（a-1）x2+ax=0，
即为2（a-1）x2=0，由x∈R，可得a=1，
即有f（x）=x3+x，导数为f′（x）=3x2+1，
可得x=0处切线的斜率为1，
即有曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为y=x．
故答案为：y=x．
由奇函数的定义可得f（-x）+f（x）=0，可得a=1，求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程．
本题考查函数的奇偶性的定义和导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
14.【答案】6
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x-y得y=2x-z，
平移直线y=2x-z，
由图象可知当直线y=2x-z经过点B时，直线y=2x-z的截距最小，
此时z最大．
由，得B（4，2）
即a=zmax=2×4-2=6，
则==6lnx=6．
故答案为：6．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解得a的值，然后求解定积分．
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想以及函数的积分公式是解决此类问题的基本方法．
15.【答案】
【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：
所以：R=
故答案为：
首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的球心，进一步求出外接球的半径．
本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的半径的公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
16.【答案】
【解析】解：由，，
可得=2，=2n，
∴=2，
，
…
，
以上n-1个式子相加可得，=2+22+…+2n-1==2n-2，
∴=2n，
∴an=；
Sn=，
∴=，
两式相减可得，=
==，
∴Sn=2-=2-，
∴S100=2-=2-．
故答案为：an=；2-．
由已知可得=2，=2n，然后利用累加法可求通项公式；
结合以上所求代入可得Sn=，然后结合错位相减可求Sn，进而可求S100．
本题主要考查了累加法求解数列的通项公式及利用错位相减求解数列的和，属于中档试题．
17.【答案】（1）因为数列{an}的前n项和Sn=．
当n≥2时，，
两式相减得（首项符合通项）．
故．
（2）由（1）得bn=an+lg2an=4n+2n，
所以==．
【解析】（1）利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．
（2）利用分组法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18.【答案】解：（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的共有3+14=17人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率为．
（2）X所有的可能取值为1，2，3，；；．
所以X的分布列为
所以X的数学期望为．
（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3+12+17+6+4+2=44人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．
【解析】（1）利用古典概型概率个数求解即可．
（2）求出X的可能值，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．
（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3+12+17+6+4+2=44人，然后求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．
19.【答案】（1）证明：∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD．
∴AB∥平面PCD，
∵AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l
∴AB∥l．
（2）解：∵底面是菱形，E为BC的中点AB=2，
∴，
∴AE⊥AD∵PA⊥平面ABCD，则以点A为原点，直线AE、AD、AP分别为轴建立如图所示空间直角坐标系则
∴F（0，1，1），，
设平面PCD的法向量为，有得，
设，则，
则解之得，∴，
设直线AQ与平面PCD所成角为α，
则，
∴直线AQ与平面PCD所成角的正弦值为．
【解析】（1）证明AB∥平面PCD，然后利用直线与平面平行的性质定理证明AB∥l．
（2）以点A为原点，直线AE、AD、AP分别为轴建立如图所示空间直角坐标系求出平面PCD的法向量直线AQ的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AQ与平面PCD所成角的正弦值．
本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法考查科技信息能力以及计算能力．
20.【答案】解：（Ⅰ）由椭圆方程椭圆 过点P（2，1），可得a2=8．
所以c2=a2-2=8-2=6，
所以椭圆C的方程为+=1，离心率e==，
（Ⅱ）直线AB与直线OP平行．证明如下：
设直线PA：y-1=k（x-2），PB：y-1=-k（x-2），
设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），
由得（4k2+1）x2+8k（1-2k）x+16k2-16k-4=0，
∴2x1=，
∴x1=
同理x2=，
所以x1-x2=-，
由y1=kx1-2k+1，y2=-kx1+2k+1
有y1-y2=k（x1+x2）-4k=-，
因为A在第四象限，所以k≠0，且A不在直线OP上．
∴kAB==，
又kOP=，
故kAB=kOP，
所以直线AB与直线OP平行．
【解析】（Ⅰ）将点P代入椭圆方程，求出a，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线PA：y-1=k（x-2），PB：y-1=-k（x-2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），分别求出x1-x2，y1-y2，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系
本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．
21.【答案】解：（1）f'（x）=kcsx+2，
①当-2≤k≤2时，∵|csx|≤1，∴|kcsx|≤2，∴f'（x）=kcsx+2≥0，∴f（x）单调递增，在（0，2π）上无极值点；
②当k＞2时，f'（x）=kcsx+2在（0，π）上单调递减，f'（0）=k+2＞0，f'（π）=-k+2＜0，
∴存在x1∈（0，π），使得f'（x1）=0，则x1为f（x）的极大值点，
f'（x）=kcsx+2在（π，2π）上单调递增，f'（π）=-k+2＜0，f'（2π）=k+2＞0，
∴存在x2∈（π，2π）使得f'（x2）=0，则x2为f（x）的极小值点，
∴f（x）在（0，2π）上存在两个极值点；
③当k＜-2时，f'（x）=kcsx+2在（0，π）上单调递增，f'（0）=k+2＜0，f'（π）=-k+2＞0，
∴存在x3∈（0，π）使得f'（x3）=0，则x3为f（x）的极小值点，
f'（x）=kcsx+2在（π，2π）上单调递减，f'（π）=-k+2＞0，f'（2π）=k+2＜0，
∴存在x4∈（π，2π）使得f'（x4）=0，则x4为f（x）的极大值点，
∴f（x）在（0，2π）上存在两个极值点，
综上所述：当-2≤k≤2时，f（x）在（0，2π）上无极值点；当k＜-2或k＞2时，f（x）在（0，2π）上有两个极值点．
（2）设g（x）=ex-ksinx-2x-1（x＞0），
①先证明k=-1时成立，
证明过程如下：g（x）=ex+sinx-2x-1，g'（x）=ex+csx-2，g''（x）=ex-sinx，∵x＞0，∴ex＞1，sinx≤1，
∴g''（x）=ex-sinx＞0，
∴g'（x）=ex+csx-2在（0，+∞）上单调递增，
∴g'（x）≥g'（0）=1+1-2=0，
∴g（x）=ex+sinx-2x-1在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（0）=1-1=0，
即对任意的x＞0，ex＞f（x）恒成立，
②下证对k≥-1，总存在x0＞0，ex≤f（x），g（x）=ex-ksinx-2x-1，g'（x）=ex-kcsx-2，g''（x）=ex+ksinx，
当时，0＜sinx＜1，ex＞0，
（i）当k≥0时，g''（x）=ex+ksinx＞0，
（ii）当-1＜k＜0时，0＞ksinx＞-1，∴g''（x）=ex+ksinx＞1-1=0，
由（i）（ii）可知，当时，g''（x）＞0，∴g'（x）=ex-kcsx-2在上单调递增，
∵g'（0）=-k-1＜0，，
∴，使得g'（x1）=0；
∴x∈（0，x1）时，g'（x）＜0，
∴g（x）=ex-ksinx-2x-1在（0，x1）上单调递减，
∴x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）=0，即存在x0∈（0，x1），ex≤f（x），
综上所述，k的最大值为-1．
【解析】（1）求出函数f（x）的导数，通过讨论k的取值范围，确定单调性进而得极值点个数．
（2）恒成立问题转化成当x＞0 时，求g（x）的最小值，需要讨论k的取值范围．
本题是导数的应用去求极值点个数，恒成立问题，难在对k的分类讨论，是难题．
22.【答案】解：（1）将C1的参数方程化为普通方程（x-2）2+y2=r2，
由x=ρcsθ，y=ρsinθ，
得C1的极坐标方程为ρ2-4ρcsθ+4-r2=0，分）
将点代入C1中，得到12-12+4-r2=0，则r2=4
因此C1的极坐标方程为ρ=4csθ．
（2）将点，代入曲线C2中，
得到，化简得．
所以．
【解析】（1）消去参数φ可得曲线C1的普通方程，再根据互化公式可得曲线C1的极坐标方程；
（2）将A，B两点的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程，利用极坐标的几何意义可得．
本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．
20以下
70以上
使用人数
3
12
17
6
4
2
0
未使用人数
0
0
3
14
36
3
0
X
1
2
3
P