云南省陆良县2020届高三上学期第二次适应性考试数学（理）试题 Word版含解析

2019-2020学年云南省曲靖市陆良县高三（上）第二次适应性数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题）

1. 若集合，，则

A.  B.
C.  D. 或

2. 已知a为实数，若复数为纯虚数，则     

A.  B.  C.  D. 2

3. 的值等于

A.  B.  C.  D.

4. 若，，，则a，b，c的大小关系为

A.  B.  C.  D.

5. 在半径为2的圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为

A.  B.  C.  D.

6. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的

A. 5
B. 4
C. 3
D. 2











 

7. 的展开式中，含的项的系数是

A.  B.  C. 25 D. 55

8. 函数的图象大致为

A.  B.
C.  D.

9. 等差数列的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和为   

A.  B.  C.  D.

10. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，那么该双曲线的离心率为

A. 2 B.  C.  D.

11. 已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球O的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球O的体积为

A.
B.
C.
D.
 

12. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题）

13. 已知x，y满足不等式组，则的最小值为______．
14. 曲线在处的切线的倾斜角为______．
15. 各项均为正数的等比数列的前n项和为，已知，，则______．
16. 已知点在圆C：和圆M：的公共弦上，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共7小题）

17. 已知，，，设．
    求的解析式并求出它的周期T．
    在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，，，．
    证明：平面平面ACD；
    当C点为半圆的中点时，求二面角的余弦值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率作了调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：

假如小明某月的工资、薪金等税前收入为7500元，请你帮小明算一下调整后小明的实际收入比调整前增加了多少？
某税务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：

先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选3人作为新纳税法知识宣讲员，用随机变量X表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，求X的分布列与数学期望．






 

20. 已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线l与椭圆交于P，Q两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为，直线OQ的斜率为．
    求该椭圆的方程；
    若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数．
    当时，求函数的单调区间；
    当时，证明：其中e为自然对数的底数．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知过点的直线l的参数方程是为参数，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
    求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
    若直线l与曲线C交于A，B两点，试问是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知，，，函数．
    当时，求不等式的解集；
    若的最小值为3，求的值，并求的最小值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：，，
．
故选：A．
可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】A
 

【解析】【分析】
本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题．
根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．
【解答】
解：，
复数是纯虚数，
且，
得且，
即，
故选：A．
3.【答案】B
 

【解析】解：，
故选：B．
由题意利用二倍角公式，求得要求式子的值．
本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．
4.【答案】B
 

【解析】解：，
，
，
，b，c的大小关系为．
故选：B．
利用指数函数、对数函数的单调性能求出a，b，c的大小关系．
本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5.【答案】D
 

【解析】解：利用面积型几何概型公式可得，
圆形铜片的面积，中间方孔的面积为，
油滴正好落入孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值，
即油滴正好落入孔中的概率为．
故选：D．
利用题意将原问题转化为面积比值的问题，据此整理计算即可求得最终结果．
本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．
6.【答案】B
 

【解析】解：当时，，，满足进行循环的条件，
当时，，满足进行循环的条件，
当时，，满足进行循环的条件，
当时，，不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4，
故选：B．
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
7.【答案】B
 

【解析】解：二项式的展开式中，通项公式为
，
令，解得，此时为；
令，解得，此时；
所以展开式中含的项的系数是．
故选：B．
根据二项式展开式的通项公式求出展开式中的常数项和含项，再求结果即可．
本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．
8.【答案】C
 

【解析】【分析】
本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值，属于基础题．
先判断函数奇函数，再求出即可判断．
【解答】
解：，
则函数为奇函数，故排除AD，
当时，，故排除B，
故选：C．
9.【答案】B
 

【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型．
先设等差数列的公差为d，根据题中条件求出公差，得到再由裂项相消法即可求出结果．
【解答】
解：设等差数列的公差为d，
由，，可得，所以，因此，
所以，
所以数列的前2019项和为：．
故选：B．
10.【答案】A
 

【解析】解：由抛物线，可得，则，故其准线方程为，
抛物线的准线过双曲线的左焦点，
．
抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，
，又，
，，
则双曲线的离心率为．
故选：A．
先求出双曲线的焦点坐标，再利用抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，可得，借助于，求出a，即可求出双曲线的离心率．
本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查计算能力是中档题．
11.【答案】C
 

【解析】解：，，，
，
，
的外接圆的半径为，
和所在平面相互垂直，
球心在BC边的高上，
设球心到平面ABC的距离为h，则，
，，
球O体积为．
故选：C．
证明，可得的外接圆的半径为，利用和所在平面相互垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则，求出球的半径，即可求出球O的体积．
本题考查球O的体积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．
12.【答案】A
 

【解析】【分析】
本题考查根的存在性及根的个数判断，将函数有3个零点转化为与有三个交点是关键，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题．
将函数有3个零点转化为与有三个交点，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得实数a的取值范围．
【解答】
解：，
函数有3个零点方程有3个根与有三个交点，
由得：
当时，函数取得极大值；
，
在同一坐标系中作出两函数的图象如下：

由图可知，当时，与有三个交点，
即函数有3个零点．
故选A．
13.【答案】2
 

【解析】解：，的几何意义为动点到原点距离的平方．
作出x，y满足不等式组对应的平面区域如图：
由图可知：原点到直线的距离最小．
由点到直线距离公式得，
的最小值为．
故答案为：2．
由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内动点到原点距离的平方，结合点到直线的距离公式求解．
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14.【答案】
 

【解析】解：的导数为，
可得曲线在处的切线的斜率为，
由，，可得，
故答案为：．
求得函数y的导数，可得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得倾斜角．
本题考查导数的几何意义，考查直线的斜率公式的运用，运算能力，属于基础题．
15.【答案】150
 

【解析】解：依题意，数列是各项均为正数的等比数列，
所以，，，，，也成等比数列，
因为，，
所以，，，，
所以．
故答案为：150．
数列是各项均为正数的等比数列，所以，，，，，也成等比数列，又因为，，所以，，，，故．
本题考查了等比数列的性质，等比数列的前n项和，属于基础题．
16.【答案】16
 

【解析】解：根据题意，圆C：和圆M：，
联立，
变形可得：，
即两圆公共弦所在直线的方程为，
若点在圆C和圆M的公共弦上，则有，即，
则，
又由，，则，当且仅当时等号成立，
故，
即的最小值为16；
故答案为：16．
根据题意，联立两个圆的方程，变形可得两圆公共弦的方程，即可得，据此可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．
17.【答案】解：由，，，
则，
即函数的周期，
故，周期为．
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
又，，
由余弦定理得：
，
所以，
所以，
即，
故答案为：．
 

【解析】平面向量数量积的运算得：，即函数的周期，
由余弦定理及三角形面积公式得：因为，所以，又，，由余弦定理得：所以，即，得解．
本题考查了平面向量数量积的运算、余弦定理及三角形面积公式，属中档题．
18.【答案】证明：是圆O的直径，，
平面ABC，平面ABC，
，又，
平面ACD，
，，
四边形DCBE是平行四边形，，
平面ACD，
又平面ADE，
平面平面ADE．
当C点为半圆的中点时，，
以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
则0，，，0，，，
，0，，，0，，
设平面DAE的法向量为，平面ABE的法向量为，
则，，即，，
令得0，，令得1，．
．
二面角是钝二面角，
二面角的余弦值为．
 

【解析】由，得平面ACD，证明四边形DCBE是平行四边形得，故而平面ACD，于是平面平面ACD；
建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．
本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．
19.【答案】解：按调整起征点前应纳税为：；
按调整起征点后应纳税为：；；
所以小明实际收入增加了220元；
由频数分布表可知抽取的7人中占4人，中占3人，
X的取值可能值0，1，2，3；
；
；
；
；
所以X的分布列为：

；
 

【解析】分别计算小明调整前后的税收，实际收入比调整前增加的为税收减少的部分
由频数分布表可知抽取的7人中占4人，中占3人，X的取值可能值0，1，2，3；列出分布列，利用期望定义公式计算即可．
本题考查了税收的计算，离散型随机变量的期望的计算和定义，属于基础题．
20.【答案】解：因为直线与x轴的交点坐标为，所以，则由得，所以，
所以椭圆的方程为：；
设 ，，
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为，联立，
整理得，
则，解得，
则，，
所以，
又点O到直线的距离，
所以，
又因为，
所以，所以，
当直线PQ的斜率不存在时，，
故的面积是定值1．
 

【解析】根据条件可得，由离心率得c，进而求出b；
分别算出PQ斜率存在与不存在时的面积．
本题考查直线与椭圆的综合，涉及直线与椭圆形成的三角形面积表示，属于中档题．
21.【答案】解：由题意可知，函数的定义域为，
，
当时，恒成立，故的单调递增区间为，
当时，在区间，时， 0'/>，在区间时，，
的单调递增区间为，，单调递减区间为，
当时，在区间，时， 0'/>，在区间时，，
的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，由，只需证，
令，，
，
设，则，
当时，，单调递减；当时， 0'/>，单调递增，
当时，取得唯一的极小值，也是最小值，
的最小值是成立，
故成立．
 

【解析】利用导数，对a分情况讨论，分别求出函数的单调区间；
当时，由，只需证，令，，利用导数求出函数的最小值，再证出，故成立．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，是中档题．
22.【答案】解：由为参数，消t得直线l的普通方程为．
由，得，
代入，，
得曲线C的直角坐标方程为；
由于曲线C的直角坐标方程为，则圆心，，
圆心到直线l的距离，
根据垂径定理可得，即，
解得．
实数．
 

【解析】把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程，由，得，结合，，可得曲线C的直角坐标方程；
求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l的距离，由垂径定理列式求得a值．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．
23.【答案】解：当时，不等式即，化为．
当时，化为：，解得；
当时，化为：，化为：，解得；
当时，化为：，解得．
综上可得：不等式的解集为：；
由绝对值三角不等式得，
由柯西不等式得，
，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为3．
 

【解析】直接利用绝对值不等式的应用求出结果．
利用关系式的变换和柯西不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，柯西不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．