重庆市西南大学附属中学校2020届高三第四次月考数学（理）试题 Word版含答案
展开西南大学附属中学校高2020级第四次月考
数 学 试 题（理）
（总分：150分 考试时间：120分钟）
2019年11月
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2． 已知复数满足，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3． 已知向量，，则是//的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
4． 已知各项均为正数的等比数列的前3项和为，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5． 已知圆与直线，若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6． 函数的图像大致为（ ）
A B C D
7． 在中国足球超级联赛某一季的收官阶段中，广州恒大淘宝、北京中赫国安、上海上港、山东鲁能泰山分别积分59分、58分、56分、50分，四家俱乐部都有机会夺冠．A，B，C三个球迷依据四支球队之前比赛中的表现，结合自已的判断，对本次联赛的冠军进行如下猜测：猜测冠军是北京中赫国安或山东鲁能泰山；猜测冠军一定不是上海上港和山东鲁能泰山；猜测冠军是广州恒大淘宝或北京中赫国安.联赛结束后，发现A，B，C三人中只有一人的猜测是正确的，则冠军是（ ）
A．广州恒大淘宝 B．北京中赫国安 C．上海上港 D．山东鲁能泰山
8． 已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9． 如图，过抛物线的右焦点的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10． 已知平面四边形的两条对角线互相垂直，，，点在四边形上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11． 设双曲线的左右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的左、右两支于，．若以为直径的圆经过右焦点，且,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12． 已知定义在R上的奇函数满足，且对任意的，都有．又，则关于的不等式在区间上的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．
13． 已知x，y满足约束条件，则的最大值为____________．
14． 曲线在点处的切线与直线垂直，则．
15． 已知数列满足，且．记数列的前项和为，若对一切的，都有恒成立，则实数能取到的最大整数是____________．
16． 在平面四边形中，，，，则的取值范围是___________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17． (12分) 已知函数.
(1) 求函数的周期和对称轴方程；
(2) 将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，求函数在上的值域.
18． (12分) 已知各项均为正数的数列的前项和为，，.
(1) 证明数列为等差数列，并求的通项公式；
(2) 设，数列的前项和记为,证明：.
19． (12分) 中，，，为线段上一点，且满足.
(1) 求的值；
(2) 若，求.
20． (满分12分) 已知椭圆的左右焦点分别为点．为椭圆上的一动点，面积的最大值为．过点的直线被椭圆截得的线段为，当轴时，．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 椭圆上任取两点A，B，以，为邻边作平行四边形．若，则是否为定值？若是，求出定值；如不是，请说明理由．
21． (12分) 已知函数．
(1) 若，求证：在区间是增函数；
(2) 设，若对任意的，恒有，求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22． 【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分）
已知曲线，点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线.
(1) 求曲线与曲线的极坐标方程；
(2) 射线与曲线相交于两点，已知定点M（– 2，0），求的面积．
23． 【选修4—5：不等式选讲】（10分）
已知函数．
(1) 解不等式；
(2) 设函数的最小值为t，实数满足，且．
求证：．
西南大学附属中学校高2020级第四次月考
数学试题（理）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．
1—5 DCDBA 6—10 ADDCB 11—12 CC
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．
13． 6 14． 15． 16．
三、解答题：共70分．
17．解：（1）
；
所以的周期,
令，则.
（2），
当，，,
.
18. 解：（1）由已知：①,
得②
①－②可得.
因为，所以
检验：由已知，，所以，
那么，也满足式子.所以.
所以为等差数列，首项为，公差为.于是.
（2）由，所以.
所以.
则
.
19. 解：（1）由题：，所以,
即.
所以.
（2）由，所以，
所以，所以，.
设，在中，由.
中，.
又因为,所以，即.
化简可得，即，则或.
又因为为线段上一点，所以且，所以.
20. 解：（1）由题意：的最大面积，.
又，联立方程可解得，所以椭圆的方程为：.
（2）设，，由平行四边形法则，所以.
所以.
又因为，即，即.
又因为点A，B在椭圆上，则，，
可得①， ②，
①×②可得即，
又，所以,即.
又①＋②可得，可得.
所以.
21. 解：（1）当，．则.
当，由函数单调性的性质可知，为上的增函数.
所以，当时，.
所以在区间是增函数.
（2）由题，则
令，则为上的增函数.
当；当；
所以必然存在，使得，即.
当，，即，所以为减函数.
当，，即，所以为增函数.
所以，无最大值.
此外，因为，所以.
令，则就有.
又，当，，所以为上的增函数.
因为，且，.所以必然有.
此时，.
又任意的，恒有，
所以，即.
22. 解：（1）曲线，化简则有：.
将代入可得曲线.
设，则,
由点在曲线上，则.
所以曲线的极坐标方程为.
（2）点到射线的距离.
射线与曲线的交点的坐标为，
射线与曲线的交点的坐标为，
所以,故.
23. 解：（1），即.
则不等式等价于或或
可解得或或无解.
所以原不等式的解集为.
（2）因为，当且仅当取等号，
所以函数的最小值为即.
由柯西不等式：，
所以，即，当且仅当
即时取等号.
又，所以当且仅当时等号成立.
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