安徽省马鞍山市2020届高三毕业生第一次教学质量监测理科数学试题 Word版含答案

2020年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测

理科数学试题

本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集，，则

A．       B．      C．        D．

2．复数的虚部为

A．    B．    C．    D．

3．下图是国家统计局给出的2014年至2018年我国城乡就业人员数量的统计图表，结合这张图表，以下说法错误的是

A．2017年就业人员数量是最多的

B．2017年至2018年就业人员数量呈递减状态

C．2016年至2017年就业人员数量与前两年比较，增加速度减缓

D．2018年就业人员数量比2014年就业人员数量增长超过400万人

4．数列为等差数列，且，则的前13项的和为

A．          B．          C．          D．

5．已知向量，，且，则

A．     B．    C．    D．

6．已知奇函数，则的值为

A．    B．    C．    D．

7．已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于点，交轴于点，若，则点的坐标为

A．         B．           C．           D．

8．西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸．203班有包括奔奔、果果在内的5位同学报名参加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为

A．18          B．36         C．72         D．144

9．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为

A．

B．

C．

D．

10．函数的图像大致为

11．已知边长为2的正所在平面外有一点，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为

 A．         B．        C．        D．

12．已知函数（）的图象经过点和，且在内不单调，则的最小值为

A．1    B．3    C．5    D．7

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线在点处的切线方程为   ▲  ．

14．已知实数，满足约束条件，则目标函数的最大值为   ▲  ．

15．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差构成一个等比数列，则称该数列为“等差比”数列．已知“等差比”数列的前三项分别为，，，则数列的前项和  ▲  ．

16．已知双曲线（，）的焦距为，为右焦点，为坐标原点，是双曲线上一点，，的面积为，则该双曲线的离心率为   ▲  ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

已知为锐角三角形，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求的最大值．

18．（12分）

某公司新研发了一款手机应用APP，投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了400位使用者，每人填写一份综合评分表（满分为100分）．现从400份评分表中，随机抽取40份（其中男、女使用者的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下的茎叶图：

记该样本的中位数为，按评分情况将使用者对该APP的态度分为三种类型：评分不小于的称为“满意型”，评分不大于的称为“不满意型”，其余的都称为“须改进型”．

（1）求的值，并估计这400名使用者中“须改进型”使用者的个数；

（2）为了改进服务，公司对“不满意型”使用者进行了回访，根据回访意见改进后，再从“不满意型”使用者中随机抽取3人进行第二次调查，记这3人中的女性使用者人数为，求的分布列和数学期望．

19．（12分）

如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且在平面内的射影在边上．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

20．（12分）

已知椭圆：过点，且到两焦点的距离之和为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知不经过原点的直线交椭圆于、两点，线段的中点在直线上，求

的取值范围．

21．（12分）

已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个不同零点，，证明：且．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点在射线上，且点到极点的距离为．

（1）求曲线的普通方程与点的直角坐标；

（2）求的面积．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

设函数．

（1）若函数有零点，求实数的取值范围；                      

（2）记（1）中实数的最大值为，若，均为正实数，且满足，

求的最小值．

2020年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测

理科数学试题

本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．          14．6          15．         

16．（提示：设左焦点为，，由题知为直角三角形 ，∴

，又，从而.）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。

（一）必考题：共60分。

17．【解析】（1）解法1：，

∴，∵为锐角三角形，，

∴，即，∴．                   （6分）

解法2：∵，∴，

∴，∴，∵为锐角三角形，

∴，∴，∴，∴．       （6分）

（2）由正弦定理得，∴，．

由（1）知，∴

∴

，                                （10分）   

∴时，取得最大值．                         （12分）

18．【解析】（1）中位数等于，所以，40个样本数据中共有13人是“须改进型”，从而可得400名使用者中约人是“须改进型”使用者；                   （5分）

（2）不满意型使用者共7人，其中男性5人，女性2人，

故的所有可能的取值为0,1,2                                              （7分）

且;;

故的分布列为

                                                                        （11分）

所以的数学期望                             （12分）

19．【解析】（1）由题可得面，∴，又四边形为矩形，

∴，又，∴面，∴．    （5分）

（2）解法1：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，

设点坐标为（），由，，

得，

解得，，即点坐标为，

设面，所以，

∴，令，得，

又面，，所以二面角的余弦值为． （12分）

解法2：作交于点，连接.由（1）知：．

又,

面.

面,又,

面,故即为所求二面角的平面角.在,

中易求得,,

中，                                   （12分）

20．【解析】（1）由题可得，解得，所以曲线的方程为．  （4分）

（2）（方法一）易知直线 斜率存在且不等于0，所以

设，得两式相减得，即  （7分）

设直线的方程为，联立方程

化简得

因为直线交椭圆于,两点，故，解得     （8分）

又，                                      （9分）

所以．      （12分）

（方法二）易知直线斜率存在且不等于0，故设直线的方程为

联立方程组，化简得

，，

因为线段的中点在直线上，所以，求得        （7分）

后面解法同解法一．                   （12分）

21．【解析】（1）．

因为，由得，或．                 （2分）

i）即时，在单调递减，在单调递增，在单调递减；

ii）即时，在单调递减；

iii）即时，在单调递减，在单调递增，在单调递减．                                                 （6分）

（2）由（1）知，时，的极小值为，

时，的极小值为，时，在单调，故时，至多有一个零点．

当时，易知在单调递减，在单调递增．

要使有两个零点，则，得．                    （9分）

令，（），则 ，所以在时单调递增，，．

不妨设，则，，， ．

由在单调递减得，，即．     （12分）

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．【解析】（1）曲线的普通方程为，                   （2分）

点的极坐标为，直角坐标为．                             （5分）

（2）（方法一）圆心，，

点到的距离，且，

所以 ．                                         （10分）

 （方法二）圆心，其极坐标为，而，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，，所以 ．

所以 ．

23．【解析】（1）依题意可知二次方程有解，

，即．

①当时，，；

②当时，恒成立，；

③当时，，．

综上所述，可得．                                          （5分）

（2）由（1）知，

（方法一：利用基本不等式）∵，

∴，∴的最小值为，当且仅当时取等号．   （10分）

（方法二：利用二次函数求最值）∵，∴，

∴，

∴的最小值为，当且仅当时取等号．                （10分）

（方法三：利用柯西不等式）∵，

∴，∴的最小值为，当且仅当时取等号．   （10分）