2020届河南省郑州市高三上学期第一次质量预测数学（理）试题

这是一份2020届河南省郑州市高三上学期第一次质量预测数学（理）试题，共11页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
设集合，，则的子集个数为
A.2B.4
C.8D.16
答案：B
复数在复平面内对应的点位于
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案：D
郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是
A.月接待游客逐月增加
B.年接持游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
答案：A
定义在R上的函数为偶函數，，，，则
A.B.
C.D.
答案：C
“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A.B.
C.D.
答案：B
已知向量与夹角为，且，，则
A.B.
C.D.
答案：C
宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的，分别为3，1，则输出的等于
А.5B.4
C.3D.2
答案：B
函数的图象大致是
答案：C
第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种
A.60B.90
C.120D.150
答案：D
已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则=
A.B.
C.D.
答案：B
已知三棱锥内接于球O，平面ABC，为等边三角形，且边长为，球的表面积为，则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为
A.B.
C.D.
答案：D
,，若有9个零点，则的取值范围是
A.B.
C.D.
答案：A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
曲线在点处的切线方程为___________.
答案：
若是等差数列的前项和，若，，则___________.
答案：
已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，6为半径做圆，圆A与双曲线C的一条渐近线相交于M，N两点，若（为坐标原点），则双曲线C的离心率为___________.
答案：
已知数列满足：对任意均有（p为常数，且），若，则的所有可能取值的集合是___________.
答案：
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
（12分）
已知ABC外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设.
（1）求角B；
（Ⅱ）若b=12，c=8，求sinA的值
【解析】(I)
∴
即： ……3分
∴
因为所以……6分
(II)若，由正弦定理，, ,
由，故为锐角，……9分……12分
（12分）
已知三棱锥M-ABC中，MA=MB=MC=AC=，AB=BC=2，O为AC的中点，点N在校BC上，且.
（1）证明：BO平面AMC；
（2）求二面角N-AM-C的正弦值.
【解析】（I）如图所示：连接，
在中：，则，.2分
在中：，为的中点，则，且 ……4分
在中：，满足：
根据勾股定理逆定理得到 相交于 ，
故平面………………….6分
（Ⅱ）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．
因为,
则……8分
由所以，
设平面的法向量为，则
令，得……10分
因为平面，所以为平面的法向量，
所以与所成角的余弦为．
所以二面角的正弦值为.……12分
（12分）
已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过点的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证，恒有.
【解析】（I）由题意知，.……1分
又因为解得，. ……3分
所以椭圆方程为. ……4分
（Ⅱ） 设过点直线为，设，
由得，且.
则
又因为，， ，……10分
所以.
因为线段的中点为，所以.……12分
（12）
水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放
现有以下四种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：四个样本混在一起化验.
化验次数的期望值越小，则方案越"优".
（1）若，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；
（2）①若，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优"？②若“方案三”比“方案四"更“优”，求p的取值范围.
【解析】(I)该混合样本达标的概率是，……2分
所以根据对立事件原理，不达标的概率为.……4分
(II)（i）方案一：逐个检测，检测次数为4.
方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则检测次数为3，概率为.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.
其分布列如下，
可求得方案二的期望为
方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5.
其分布列如下，
可求得方案四的期望为.
比较可得，故选择方案四最“优”．……9分
(ii)方案三：设化验次数为，可取2,5.
；
方案四：设化验次数为，可取
；
由题意得.
故当时，方案三比方案四更“优”．……12分
（12分）
已知函数.
（1）求的最大值；
（2）若恒成立，求实数b的取值范围.
【解析】(I)，定义域，
，
由，在增，在减，……4分(II) ……6分
令，
令，在单调递增，，
在存在零点，即
……9分
由于在单调递增，故即
在减，在增，
所以.……12分
（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题记分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P，其参数方程（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线E的极坐标方程；
（2）若直线交E于点A，B，且OAOB，求证：为定值，并求出这个定值.
【解析】(I)将点代入曲线E的方程，
得解得，……2分
所以曲线的普通方程为,
极坐标方程为.……5分
(Ⅱ)不妨设点的极坐标分别为
则
即……8分
,即……10分
[选修4-5不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若恰好存在4个不同的整数n，使得，求m的取值范围.
【解析】(I)由，得，
不等式两边同时平方，得，……3分
即，解得.
所以不等式的解集为．……5分
(Ⅱ)设g(x)＝|x－1|－|2x＋1|
……8分
因为，
又恰好存在4个不同的整数n，使得，
所以故的取值范围为. ……10分