2020届湖南名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷

理 科 数 学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数满足（为虚数单位），则为（    ）

A． B． C． D．

3．即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于时称空气质量为“优良”，如图是某市月日到日的统计数据，则下列叙述正确的是（    ）

A．这天的的中位数是

B．天中超过天空气质量为“优良”

C．从月日到日，空气质量越来越好

D．这天的的平均值为

4．已知平面向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．

5．某围棋俱乐部有队员人，其中女队员人，现随机选派人参加围棋比赛，则选出的人中有女队员的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．已知，表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

7．函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象

关于原点对称，则等于（    ）

A． B． C． D．

8．下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（    ）

A． B． C． D．

9．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

10．正三角形的边长为，将它沿高折叠，使点与点间的距离为，

则四面体外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

11．有如下命题：①函数与的图象恰有三个交点；②函数与的图象恰有一个交点；③函数与的图象恰有两个交点；④函数与的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（   ）

A． B． C． D．

12．若函数的图象关于点对称，，分别是的

极大值点与极小值点，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．在中，若，，，则_____．

14．如图，圆（圆心为）的一条弦的长为，则_____．

15．在的展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）．

16．定义在正实数上的函数，其中表示不小于的最小整数，如，，当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则________．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）如图，在平面四边形中，，，，设．

（1）若，求的长度；

（2）若，求．

18．（12分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示．

（1）求这名考生的平均成绩（同一组中数据用该组区间中点值作代表）；

（2）由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么抽取的名考生成绩超过分（含分）的人数估计有多少人？

（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取名考生，记成绩不超过分的考生人数为，求．（精确到）

附：①，；

②，则，；

③．

19．（12分）如图，三棱柱中，，，，，分别为棱，的中点．

（1）在上确定点，使平面，并说明理由；

（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）已知两直线方程与，点在上运动，点在上运动，且线段的长为定值．

（1）求线段的中点的轨迹方程；

（2）设直线与点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，

若，求原点到直线的距离的取值范围．

21．（12分）已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若存在，，使得，求证：．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，求的值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，，使得，求实数的取值范围．

2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷

理科数学答 案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】A

【解析】∵，

，

∴．

2．【答案】A

【解析】（为虚数单位），∴，

∴，解得，则．

3．【答案】C

【解析】这天的指数值的中位数是，故A不正确；

这天中，空气质量为“优良”的有，，，，，共天，故B不正确；

从日到日，空气质量越来越好，故C正确；

这天的指数值的平均值约为，故D不正确．

4．【答案】B

【解析】，∵，∴，解得．

5．【答案】D

【解析】由题意结合排列组合公式可得随机选派人参加围棋比赛的方法有种，

而选出的人中没有女队员的方法有种，

结合古典概型计算公式可得：选出的人中有女队员的概率为．

6．【答案】B

【解析】A．若，，则，相交或平行或异面，故A错；

B．若，，由线面垂直的性质定理可知，故B正确；

C．若，，则或，故C错；

D．若，，则或或，故D错．

7．【答案】D

【解析】函数的图象向左平移个单位后，

得到的图象，

由于平移后的图象关于原点对称，故，

∴，由，得．

8．【答案】B

【解析】由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，

其中长方体的长宽高分别为，， ，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，

据此可得，组合体的表面积．

9．【答案】B

【解析】代，知函数过原点，故排除D，

代入，得，排除C，

代入，，排除A．

10．【答案】B

【解析】根据题意可知四面体的三条侧棱、，

底面是等腰，

它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，

求出三棱柱的上下底面三角形的中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，

三棱柱中，底面，，，∴，

∴的外接圆的半径为，

由题意可得：球心到底面的距离为，

∴球的半径为，外接球的表面积为．

11．【答案】C

【解析】①设，则，即函数为减函数，

∵，函数是奇函数，

∴函数只有一个零点，即函数与的图象恰有一个交点，故①错误，

②由①知当时，；当时，；

当时，；当时，，

故函数与的图象恰有一个交点，故②正确，

③作出函数与的图象，由图象知两个函数有个交点，即函数与的图象恰有两个交点，故③正确，

④作出函数与的图象，由图象知两个函数有个交点，即函数与的图象恰有三个交点，故④正确．

12．【答案】C

【解析】由题意可得，

函数图象关于点对称，且，故，

即，

据此可得，解得，

故函数的解析式为，

，

结合题意可知：，是方程的两个实数根，且，

故．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】由余弦定理得，解得或（舍去）．

14．【答案】

【解析】过点作于，则为的中点，

∴．

15．【答案】

【解析】由于，，，

据此结合排列组合的性质可得项的系数为．

16．【答案】

【解析】易知：当时，因为，所以，

所以，所以，．

当时，当，则，所以，

所以，．

当时，当，则，所以，

，；

当时，当，则，所以，

所以，；

当时，当，则，所以，

所以，．

由此类推：．

故．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意可知，，

在中，，，，

由余弦定理可知，，．

（2）由题意可知，，，

在中，由正弦定理可知，，

∴，∴．

18．【答案】（1）分；（2）约635人；（3）．

【解析】（1）由题意知：

∴，

∴名考生的竞赛平均成绩为分．

（2）依题意服从正态分布，其中，，，∴服从正态分布，

而，

∴．

∴竞赛成绩超过分（含分）的人数估计为人人．

（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率．

而，∴．

19．【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】（1）取中点，连结，，

在中，取为中点，连接，则，

延长与交于点，则即为所求点，

为平行四边形，点，为中点，则，

由线面平行的判定定理可得平面，

同理可得，平面，

又，，

据此可得平面平面，故平面．

（2）作平面，与延长线交于，

则，，，∴，

∵，，∴，

∴，∴．

作，则直线与平面所成角即直线与平面所成角，

∵，∴．

设到平面的距离为，则，∴，

∴直线与平面所成角的正弦值为．

20．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵点在上运动，点在上运动，

∴设，，

线段的中点，则有，，

∴，，

∵线段的长为定值，∴，

即，化简得，

∴线段的中点的轨迹方程为．

（2）设，，联立，

得，，

化简得①，则，，

，

若，则，即，

所以，

即，化简得②，

由①②得，，

因为到直线的距离，所以，

又因为，所以，

所以到直线的距离的取值范围是．

21．【答案】（1）函数在上单调递增；（2）证明见解析．

【解析】（1），

令，则，解得，∴，

令，，

∴时，函数取得极小值即最小值，∴，

∴函数在上单调递增．

（2）由（1）可得：函数在上单调递增．

要证明：，

又，因此，

即，，则，

令

，

，，，

令，，

∴在上单调递增．

∴，∴函数在上单调递增．

∴，因此结论成立．

22．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）曲线的普通方程为，

则的极坐标方程为．

（2）设，，

将代入，得，

所以，所以．

23．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，或或，

解得，所以原不等式的解集为．

（2）对任意恒成立，对实数有解．

∵，

根据分段函数的单调性可知：时，取得最大值，

∵，

∴，即的最大值为，

所以问题转化为，解得．