2020届湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2020届湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高三上学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先化简集合B，然后进行交集的运算即可．

【详解】

解：∵，，

∴．

故选：A．

【点睛】

本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．

2．下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案．

【详解】

解：根据题意，依次分析选项：

对于A，，为反比例函数，不是偶函数，不符合题意；

对于B，，为余弦函数，是偶函数但在区间上不是减函数，不符合题意；

对于C，，为二次函数，是偶函数但在区间上是增函数，不符合题意；

对于D，，既是偶函数，又在上单调递减，符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．

3．函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直接利用正切函数的周期公式求解即可．

【详解】

解：函数的最小正周期为：．

故选：A．

【点睛】

本题考查三角函数的周期的求法，考查计算能力，属于基础题．

4．若向量，的夹角为120°，，若，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】B

【解析】根据向量数量积的运算律及法则，求出的模长即可得到结论．

【详解】

解：设向量，的夹角为，，∴，

∵

即：，

从而解得：或(舍)，

∴，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查向量模长的求解，根据向量数量积的应用分别求出向量长度是解决本题的关键．

5．已知命题，，，，下列合题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据不等式的性质以及三角函数的有界性分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．

【详解】

解：∵恒成立，

∴，恒成立，即命题p是真命题，

∵，，

∴，为假命题，

则为真命题，其余为假命题，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题的真假关系是解决本题的关键．比较基础．

6．若幂函数过点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据条件利用代入法求出α的值，结合幂函数的性质判断函数的奇偶性和单调性，然后进行判断即可．

【详解】

解：∵过点，

∴，

则，

即，

则函数在上为偶函数，

且当时，为减函数，

则，，，，

故只有C正确，其余错误，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查函数值，以及单调性比较，结合条件求出幂函数的解析式，利用幂函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．比较基础．

7．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据函数成立的条件进行求解即可．

【详解】

解：要使函数有意义，则，

得得得或，

即函数的定义域为，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件转化为不等式关系进行求解是解决本题的关键．

8．若函数(其中e为自然对数的底数)，则（    ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，由函数的解析式可得f（）的值，进而计算可得答案．

【详解】

解：根据题意，函数，

，

，

故选：D．

【点睛】

本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．

9．把函数的图象向右平移t个单位长度，得到函数，则t的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据函数图象变换关系，求出函数的解析式，结合指数关系进行求解即可．

【详解】

解：把函数的图象向右平移t个单位长度，得，此时由得，得，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查函数图象变换关系以及指数幂和对数的转化，求出函数的解析式是解决本题的关键．比较基础．

10．函数的图象是(     )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】【详解】试题分析：由偶函数排除B、D,排除C.故选A.

【考点】函数的图象与性质．

11．关于函数有下列四个结论：

①是偶函数；②的最小正周期为；③在上单调递增；④的值域为．

上述结论中，正确的为（    ）

A．③④ B．②④ C．①③ D．①④

【答案】D

【解析】由二倍角的余弦公式和余弦函数的性质，化简f（x），由f（﹣x）＝f（x），可判断①；可令t＝|cosx|，可得g（t）＝2t2+t﹣1，由函数的周期性可判断②；由y＝|cosx|的单调性，结合复合函数的单调性可判断③；由二次函数的单调性可判断④．

【详解】

解：，

由，可得，

由，则为偶函数，故①正确；

可令，则，

可得，在上单调递增，

由的最小正周期，可得的最小正周期为，故②错误；

由在递增，在递减，

由复合函数的单调性可得，在递增，在递减，故③错误；

由，，∵在递增，则的值域为，故④正确．

上述结论中，正确的为①④；

故选：D．

【点睛】

本题考查余弦函数的图象和性质，考查函数的周期性和奇偶性、值域的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．

12．已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】把函数与的图象上存在关于y轴对称的点，转化为在有零点，得到有零点，即和有交点，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】

由题意，函数与的图象上存在关于y轴对称的点，可得在有零点，即，

即有零点，即和有交点，

因为，所以令，则，

又因为，所以即单增，

因为，所以，即，所以h（x）在单调递增，

所以，可得.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了导数的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数与的图象上存在关于y轴对称的点，转化为在有零点，分类参数转化为两个函数图象有交点是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

二、填空题

13．设集合，若，则实数_________．

【答案】5

【解析】推导出a﹣2＝3或a＝3，再由集合中元素的互异性，能求出结果．

【详解】

解：∵集合，，

∴或，

当时，，成立；

当时，，不满足集合中元素的互异性，不成立．

∴实数

故答案为：5．

【点睛】

本题考查实数值的求法，考查集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14．若函数，则曲线在点处的切线方程为_________．

【答案】

【解析】求出函数的导数，求出切线的斜率切点坐标，然后求解切线方程．

【详解】

解：由函数，得：，，，

求得切线方程为，

即．

故答案为：．

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力，是基本知识的考查．

15．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则__________．

【答案】

【解析】由已知可求，利用比例的性质即可求解．

【详解】

解：∵，，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了比例的性质的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

16．关于以下结论：

①，；

②函数的最小正周期为；

③若向量，则向量；

④．

以上结论正确的个数为______．

【答案】2

【解析】对命题逐一分析正误，得出结论即可．

【详解】

解：对于①，，当时，，，∴；故①错误；

②函数，所以的最小正周期为；故②正确；

③若向量，则向量；当时或当时，，但不垂直于；故③错误；

④；④正确，证明如下：

∵；

而

．

∴；

∴．

故②④正确；正确的个数为2个；

故答案为：2．

【点睛】

本题考查命题判断真假的方法，需要逐个判断，属于基础题．

三、解答题

17．已知向量，，若，，求向量．

【答案】

【解析】设的坐标，结合向量垂直与平行的坐标运算，求得．

【详解】

解：设，

∵，，

由题意得：，

从而解得：．

∴．

【点睛】

本题考查向量垂直与平行的坐标运算，是基础题，解题时要注意向量垂直与平行的性质的合理运用．

18．设，．

(1)当时，若为假命题，为真命题，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）或（2）

【解析】（1）把a＝﹣2代入化简p，求解一元二次不等式化简q，由p∧q为假命题，p∨q为真命题，得p与q一真一假，然后分类求解得答案；

（2）把p是q的充分不必要条件转化为两集合端点值间的关系，列关于a的不等式组求解．

【详解】

解：(1)当时，，，

由为假命题，为真命题，得p与q一真一假，

若p真q假，则，得；

若p假q真，则，得．

综上，或；

(2)由p是q的充分不必要条件，得，解得．

【点睛】

本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查复合命题的真假判断，考查数学转化思想方法，是基础题．

19．已知函数．

(1)求的最小正周期与单调递增区间；

(2)求满足的x的集合．

【答案】（1）周期，单调增区间为，（2）

【解析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由周期公式求周期，再由复合函数的单调性求函数的单调增区间；

（2）直接求解三角不等式得答案．

【详解】

解：(1)∵

．

∴．

由，解得，．

∴的单调增区间为，；

(2)由，得，

∴，．

∴满足的x的集合为．

【点睛】

本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档题．

20．已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）求函数在上的最小值.

【答案】（1）的极大值为的极小值为；（2）.

【解析】（1）对求导，判断的正负，得到的单调性，然后得到的极值；（2）对进行分类，研究其导函数的正负，从而得到的单调性，求出其最值.

【详解】

（1），所以

，令，得

所以在和上，，单调递增，

在上，，单调递减，

所以的极大值为，极小值为；

（2），

①当时，，所以在上单调递增，所以，

②当时，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

i)当时，在上单调递减，所以

ii)当时，在上单调递减，在上单调递增，所以

综上所述：

【点睛】

本题考查利用导数求函数的极值和最值，分类讨论研究函数的单调性和最值，属于中档题.

21．如图，在中，，且D为的中点．

(1)求的值；

(2)若，，的角平分线交于E，求及的面积．

【答案】（1）（2），

【解析】（1）由D为AC的中点，可得S△ABC＝2S△BCD，进而利用三角形的面积公式即可求解的值．

（2）设BD＝x，则AB＝2x，在△ABC，△BCD中，利用余弦定理可得，解得x2，可求cos∠DCB的值，利用角平分线的性质可求，可得S△CEDS△BCD，利用三角形的面积公式求得S△BCD的值，即可求解S△CED的值．

【详解】

解：（1）∵S△ABCAB•BC•sin∠ABC，S△BCDBD•BC•sin∠DBC，

∵D为AC的中点，

∴S△ABC＝2S△BCD，即AB•BC•sin∠ABC＝2BD•BC•sin∠DBC，

∵sin∠ABC＝sin∠DBC，

∴．

（2）设BD＝x，则AB＝2x，

在△ABC中，cos∠ACB，

在△BCD中，cos∠DCB，

∴，解得x2，则cos∠DCB，

∵∠ACB的角平分线为CE，

∴E到DC，BC的距离相等，则，

∴S△CEDS△BCD，

∴S△BCDBC•DC•sin∠DCB4，

∴S△CED．

【点睛】

本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

22．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）对任意，，，都有恒成立，求m的最大值.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）4

【解析】求得函数的导数，分类讨论，即可求得函数的单调区间，得到答案；

（2）设，对任意，都有恒成立，转化为函数对，恒成立，利用导数求得函数的单调性，即可求解.

【详解】

由题意，函数的定义域为，

且，

①当，即时，恒成立，在上单调递增；

②当，即时，令得，

若或，则；

若，则；

所以在和上单调递增；在上单调递减；综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在和单调递增；在上单调递减；

（2）因为，所以，

设，对任意，都有恒成立，

则对，恒成立，

设，

由（1）知在上单调递减；在上单调递增；

又，则，

又，，∴，

又，所以，所以的最大值为4.

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．