2020届湖南省永州市高三上学期第一次模拟考试数学（理）试卷 PDF版

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数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案CBADABCDCADB 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．2 14．5 15． 16．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）解：（1）在中，由正弦定理得， ……………2分，， ……………4分因为，所以. ……………6分（2），且，， ……………7分在中，，，由余弦定理得， ……………9分即，解得：或 …………11分的长为1或3. ……………12分18．（本小题满分12分）解：（1）如图连接，易知，均为正三角形，取中点，连接，，则， ……………2分又，平面，平面， ……………4分又平面，所以. ……………5分（2）因为二面角为直二面角，所以平面平面，又因为平面平面，且，所以平面.又因为，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. ……………6分则，，.所以，设平面的法向量为.由得取，所以. ……………9分又因为直线平面，所以是平面的一个法向量，所以. ……………11分又因为二面角为锐二面角所以二面角的余弦值. ……………12分19．（本小题满分12分）解：（1）由题意知，解得所以椭圆的方程为. ……………4分（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：∴ ……………6分由得：或…………7分因为坐标原点在以线段为直径的圆外∴ ……………9分又∵，即 ∴. ……………11分故或. ……………12分20．（本小题满分12分）解：（1）根据条形图可知，优等品的频率为，用频率估计概率，则任取一件产品为优等品的概率为. ……………2分（2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为，由题意，或 ……………3分； ……………4分 ……………5分故的分布列为： 4700039000 所以数学期望 ……………6分（3）机器人在第0格为必然事件，，第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率.机器人移到第格的情况只有两种：①先到第格，又出现反面，其概率，②先到第格，又出现正面，其概率所以，故 ……………8分所以时，数列为首项，公比为的等比数列.所以，，，，， ……………9分以上各式累加，得，所 …10分所以获胜概率，失败概率 ……………11分，所以获胜概率更大，故此方案能吸引顾客购买该款产品. ……………12分21．（本小题满分12分）解：（1）函数的定义域为．， …………1分当时，在单调递增，，时，∴存在唯一正数，使得， ……………3分函数在单调递减，在单调递增，∴函数有唯一极小值点，没有极大值点，∴当时，有唯一极小值点，没有极大值点． ……………5分（2）由（1）知，当时，有唯一极小值点，∴，恒成立∵，∴，∴． ……………6分令，则在单调递减，由于，，∴存在唯一正数，使得，从而．……8分由于恒成立，①当时，成立；②当时，由于，∴．令，当时，，∴在单调递减，从而．∵，且，且，∴． ……………10分下面证明时，．，且在单调递增，由于，，∴存在唯一，使得，∴．令，，易知在单调递增，∴，∴，即时，．∴的最大值是10． ……………12分 22．（本小题满分10分）解：（1）曲线的极坐标方程可化为 ……………………2分将代入上式得，所以曲线的直角坐标方程为. ………………………………5分（2）将直线的参数方程代入得，化简得； ………6分由，得；， ………………………8分，所以. ………………………………10分23. （本小题满分10分）解：（1） .……2分当时，无解；当时，由得，解得；当时，恒成立，则；综上所述，不等式的解集为. …………………………5分（2）不等式恒成立, 恒成立. ………………………………7分当时，；当时，；当时，,， ………………………………9分，即实数的取值范围. ………………………………10分