2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题 PDF版

永州市2020年高考第二次模拟考试试卷

数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

13．  14．  15． 

16．(1)（2分）; (2) （3分）

三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）解：（1）

               …………………………………………………………………3分

        在中，由余弦定理可得

            ………………………………………………………………6分

（2）

            ……8分 

     ，，

 ，，

   ………………………………………………………10分  

在中，由正弦定理可得，

．  ………………………………………………12分 

18．（本小题满分12分）

解：（1）证明：因为，，

所以，因为，所以．

又因为，，

所以，而，

所以，又，

所以．      ………………6分 

（2）解：设直线与平面所成交的余弦值为．

连接，在中，，，

，所以，且，，

又因为，，，

所以，．在中，，，所以．

   如图，以点为坐标原点，分别以 为x,y,z轴建立空间直角坐标系，各点

坐标为，，，，

因为，为的中点，所以为的中点，即，

    设平面的法向量，

，，

由，即，

整理得， 令，得，，则．……10分

因为 ，所以，

故直线与平面所成交的正弦值为．                 ……………12分

19．（本小题满分12分）解：（1）椭圆过点，∴，①    ………2分

又因为直线的斜率之积为，可求得，②

联立①②得．

∴所求的椭圆方程为．      ……………………………………………6分

（2）方法1：由（1）知，． 由题意可设，

令x=m,得．又设

由整理得：．…………………6分

∵，∴，，

所以，    ……………………………………………………8分

∴  ，…10分

要使与k无关，只须，此时恒等于4.

∴  ……………………………………………………………………………12分

方法2：:设，则，令x=m,得，

∴ 

由有，

所以，

要使与无关，只须，此时.

∴     …………………………………………………………………………12分

20．（本小题满分12分）

解：（1）如果，采用逐份检验方式，设检测结果恰有两份次品的概率为                           

检测结果恰有两份次品的概率．         ………………………3分

（2）记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为，由已知得，的所有可能取值为

,     

=   …………………5分

要减少检验次数，则，则   

 ∴，，即，      ………………………7分

（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为，，则由（2）知，

， ，

     ………………10分

②设这组采用混合检验的检验次数分别为，，， ，，，且检验总次数，

，

，

所以检验总次数的数学期望．    …………………12分

21．（本小题满分12分）

证明：(1)当x∈（0,1）时，f′(x)＝＞0，函数f(x)在（0,1）上为增函数．又f(0)＝-e+1<0，f(1)＝3>0，所以存在唯一x0∈（0,1），使f(x0)＝0．…4分

(2) 当x∈（1，2）时，,

令t=2-x, x=2-t，x∈（1，2），t∈（0，1），

, t∈（0，1）               ……………………6分

记函数，t∈（0，1）．

则h′(t)＝．                 ……………………8分

由(1)得，当t∈(0，x0)时，f(t)<0，h′(t)＞0，

当t∈(x0，1)时，f(t) >0，h′(t) <0．

故在(0，x0)上h(t)是增函数，又h(0)＝0，从而可知当t∈(0，x0]时，h(t)>0，所以h(t)在(0，x0]上无零点．

在(x0，1)上h(t)为减函数，由h(x0)>0，h(1)＝－ln 2<0，知存在唯一t1∈(x0，1)，使h(t1)＝0，                         ……………………………………………10分

故存在唯一的t1∈(0，1)，使h(t1)＝0．

因此存在唯一的x1＝2－t1∈(1，2)，使g(x1)＝g(2－t1)＝h(t1)＝0．

因为当t∈ (0，1)时，1＋t>0，故与g(2－t)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈（1，2），使g(x1)＝0．

因为x1＝2－t1，t1>x0，所以x0＋x1<2．  …………………………………………12分

22．（本小题满分10分）

解：（1）直线的直角坐标方程为，

将，代入方程得

，即，        …………………………5分

（2）设直线的极坐标方程为，设，

则，

由，有，

当时，的最大值为．       ………………………10分

23．（本小题满分10分）

解：（1）由得，解得

不等式的解集为．          ………………………5分

（2）

当且仅当时等号成立，

，                                      ………………………7分

        ．

当且仅当，即时等号成立．            ………………………10分