2020届宁夏银川市宁夏大学附属中学高三上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

2020届宁夏银川市宁夏大学附属中学高三上学期第三次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集为，集合，，则下列结论正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】先求解集合再判断即可.

【详解】

,.

故,A错误.

,B错误.

.C错误.

.D正确.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了集合间的基本运算,属于基础题型.

2．设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】试题分析：a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0，由充要条件的定义可得答案．

解：由不等式的性质，a＞b＞0，可推出，

而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0．

故是a＞b＞0的必要不充分条件．

故选B．

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

3．已知，为虚数单位，且，则（     ）．

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】根据复数相等的性质求解 再计算即可.

【详解】

因为,故解得.

故.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题型.

4．.若，则（ ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】利用对数函数的性质求解．

【详解】

∵，∴0＜＜1，0＜＜1，∵2＞1，要使logb2＜0

∴0＜＜1，∵，∴＞，且0＜＜1，∴．

故选B．

【点睛】

本题考查两个数的大小的比较，注意对数函数的性质的合理运用，属于基础题．

5．在中，，，，则边上的高为（     ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用余弦定理求解的大小,再利用边上的高即可.

【详解】

易得,又.

故.故边上的高.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了解三角形的运用,需要根据题意选取合适的公式求解即可.属于基础题型.

6．若在上是减函数，则的取值范围是（     ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据减函数的导函数值在区间上小于等于0求解即可.

【详解】

,由题在上恒成立.又故在上恒成立.又对称轴.故在单调递增.

故,故.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了利用导函数解决单调性的问题,同时也考查了恒成立问题的参变分离方法,属于基础题型.

7．设，均为单位向量，且它们的夹角为，当取最小值时，实数的值为（     ）．

A． B．

C． D．1

【答案】A

【解析】将平方再分析最值即可.

【详解】

.故当时, 取最小值.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了平行向量的模长运用,常用平方再分析的方法,属于基础题型.

8．已知函数，则下列结论正确的是（     ）．

A．的图像关于直线对称 B．的图像向左平移个单位后为偶函数图像

C．的图像关于点对称 D．的最小正周期为，且在上为增函数

【答案】B

【解析】利用辅助角公式化简再分析即可.

【详解】

.

对A,代入有,不为正弦函数对称轴.故A错误.

对B, 的图像向左平移个单位后为

为偶函数,故B正确.

对C,代入有,故C错误.

对D,最小正周期为,在上不为单调递增区间.故D错误.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了辅助角公式的运用以及三角函数图像的性质判定,属于基础题型.

9．函数f(x)＝log2|x|，g(x)＝－x2＋2，则f(x)·g(x)的图象只可能是(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为函数f(x)，g(x)都为偶函数，

所以f(x)·g(x)也为偶函数，

所以图象关于y轴对称，排除A，D；

f(x)·g(x)＝(－x2＋2)log2|x|，

当0<x<1时，f(x)·g(x)<0，排除B，故选C.

10．已知数列，若点均在直线上，则的前15项和等于（     ）．

A．42 B．45 C．48 D．51

【答案】B

【解析】利用等差数列性质求解即可.

【详解】

的前15项和,又,故.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等差数列的的性质及求和公式,属于基础题型.

11．已知函数的图像在处的切线斜率为，且当时，此切线过点，则的值为（     ）．

A．8 B．16 C．32 D．64

【答案】D

【解析】求导后利用导函数的几何意义求解数列的递推公式,再推导出为等比数列,求通项公式再求即可.

【详解】

由题,故.又当时,此切线过点,此时斜率,故切线方程为,且与相切.

联立方程得.显然.

故判别式.

故是以为首项,公比为2的等比数列.故.故.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义以及数列的递推公式求解通项公式的方法.需要根据导数的几何意义求解对应的切线方程,再利用与二次函数相切则联立方程判别式为0的方法等.属于中等题型.

12．已知奇函数满足，且时，，则关于的方程在区间上的所有根之和是（     ）．

A．10 B．8 C．6 D．4

【答案】C

【解析】根据函数的性质,且已知时,,可画出对应的函数图像,再分析在区间上的所有根之和即可.

【详解】

由题,,则,故周期为4.

又奇函数关于对称,且,故关于对称,

又时,则可画出区间上对应的函数图像.

易得即在区间上的根分别关于-3,1,5对称,故零点之和为.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了根据函数的关系推导函数性质以及函数图像的问题.需要先根据时,,画出的图像,再根据函数性质补全图像.再利用图像求得零点之和.属于中等题型.

二、填空题

13．已知，则__________．

【答案】-1

【解析】注意观察角x、的关系可发现x、均能用已知角和特殊角表示出来，再用和差角公式展开即可求得结果．

【详解】

故答案为：-1．

【点睛】

三角函数求值的三种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.

14．设向量，分别为单位向量，且夹角为，若，，则______．

【答案】

【解析】根据平面向量的数量积运算即可.

【详解】

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了平面向量的基本运算,属于基础题型.

15．已知向量，，若与共线，则______．

【答案】

【解析】根据向量共线的方法分析系数关系即可.

【详解】

因为与共线,故,

又,不共线,根据平面向量基本定理得.

故.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了平行向量的性质与用法,直接根据平面向量基本定理判定即可.属于基础题型.

16．已知数列与满足，，且，设数列的前项和为，则______．

【答案】

【解析】分为奇数和偶数两种情况讨论即可.

【详解】

由,故当为偶数时,；当为奇数时,.

又,故.

故当为偶数时, ；当为奇数时, .

所以当为偶数时, ,即奇数项为公差为1的等差数列.

当为奇数时, 即偶数项为公差为-2的等差数列.

又,故

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了奇偶数列的求和问题,需要根据为奇数和偶数两种情况进行分类讨论,求和的时候再直接写出各项进行计算分析即可.属于中等题型.

三、解答题

17．在中，角，，的对边分别是，，，已知．

（1）求证：，，成等比数列；

（2）若，试判断的形状．

【答案】（1）证明见解析（2）等边三角形

【解析】(1)利用正弦定理以及因式分解的方法证明即可.

(2)利用余弦定理以及(1)中的化简求得即可.

【详解】

（1）由已知应用正弦定理得,

即,

由于,则

故,,成等比数列．

（2）若,则,

由（1）知,则,即,

所以,故为等边三角形．

【点睛】

本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题目信息选择合适的定理进行化简分析,属于中等题型.

18．设向量，，，角，，分别为的三个内角，若在处取得极值．

（1）试求与的值；

（2）当，求的最小外接圆半径．

【答案】（1），（2）

【解析】(1)化简再求导根据在处取得极值可得,再算得即可.

(2)化简,再利用余弦定理与基本不等式可得,再利用正弦定理求外接圆的半径满足的关系式即可.

【详解】

（1）由,得,

则,

由于在处取得极值,那么,

解得或．

又,则,．

（2）若,即,则,

所以,即．

则,故的最小外接圆半径为．

【点睛】

本题主要考查了解三角形与向量、导数以及基本不等式的综合运用,需要根据题意选择合适的公式进行化简,同时注意观察余弦定理中的结构找到基本不等式的用法即可.属于中等题型.

19．已知数列的前项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）若等比数列满足，，求数列的前项和．

【答案】（1）（2）或

【解析】(1)分两种情况,利用通项公式与前项和的关系求解即可.

(2)利用基本量法求解等比数列的首项与公比,再利用求和公式求解即可.

【详解】

（1）由得,

且时,,

显然满足,

故．

（2）若等比数列满足,,

则由（1）得,解得,或．

所以或

【点睛】

本题主要考查了根据前项和与求通项公式的方法,同时也考查了等比数列的基本量求法即求和的问题,属于中等题型.

20．在数列中，，若函数在点处的切线过点．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式与前项和公式．

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】(1)求导后求导切线方程,代入求得,再构造数列证明即可.

(2)根据(1)中构造的等比数列求出,再分组求和即可.

【详解】

（1）由得,,,

则在点处的切线方程为,即．

又此切线过点,则,即．

故是公比为3的等比数列．

（2）又,由（1）知,

则,．

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义以及构造数列求通项公式的方法,同时也考查了分组求和以及等比数列求和公式等.属于中等题型.

21．已知，． 对于函数、，若存在常数，，使得，不等式都成立，则称直线是函数与的分界线．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在说明理由．

【答案】（1）见解析（2）时，与存在“分界线”，理由见解析

【解析】(1)求导后分,与三种情况讨论即可.

(2)由题意,代入时,有,再根据二次函数的恒成立问题求得,再证明即可.

【详解】

（1）由得,

若时,有,则在上单调递增；

若时,由解得,

若时,对于,有；,有,

则在上单调递减,在上单调递增；

若时,对于,有；,有,

则在上单调递增,在上单调递减．

（2）当时,,,

若对都成立,

即对都成立．

则时,有；且,对都成立,

即,对都成立．

所以 ,．

此时,令,

则,

令，在上恒成立，

又在上，

∴在单增且，

从而有时,；时,,即在

所以在上递减,在上递增．

因此,即．

故时,与存在“分界线”．

【点睛】

本题主要考查了含参数的单调性讨论以及新定义的函数问题.主要是根据题意,代入特殊值找到对应的参数,再利用恒成立问题求解即可.属于难题.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线和的直角坐标方程；

（2）若点为上任意一点，求点到的距离的取值范围．

【答案】（1），（2）

【解析】(1)易得表示圆,再利用极坐标中的公式化简即可.

(2)设曲线上的任意一点,求出到曲线的距离公式,再利用三角函数的值域求解即可.

【详解】

（1）由消去参数,得,

则曲线的普通方程为．

由,得,即．

则曲线的直角坐标方程为．

（2）曲线上的任意一点到曲线的距离为

,

故点到曲线的距离的取值范围为．

【点睛】

本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标的互化,同时也考查了利用参数方程求距离最值的问题,属于中等题型.