2020届安徽省毛坦厂中学高三12月月考试题 数学（理）（应届）

20192020学年度高三年级12月份月考

应届理科数学试卷

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)

1． （   ）

A．      B．       C． D．

2．已知定义在上的函数满足,且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是（   ）

A．    B．

C．    D．

3、已知两个等差数列的前项和分别为，且，则使得为整数的正整数的个数是（  ）

A. 2          B. 3            C. 4           D. 5

4．某几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体的体积为（ ）

第4题图                          第5题图

A．       B．    C．     D．

5．已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

6.的内角的对边分别为．若成等比数列，且，则( )

A．           B．           C．            D．

7．不等式（其中）对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）

A．     B．      C．    D．

8．已知函数在内单调递减，则的取值范围是(    ).

A． B． C． D．

9．已知，，，则的最小值是（    ）

A．2 B． C．3 D．4

10．平面内有三个向量，其中与夹角为120°，与的夹角为30°，且，若，（λ，μ∈R）则（  ）

A．λ=4，μ=2    B．    C．    D．

11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于

第10题图                第11题图              第12题图

A．    B．         C.           D.

12.．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（　　）

A．（0，]       B．（，2]  C．（，2]      D．（2，4]

二、填空题

13．已知函数，直线与的图象的相邻两个交点的横坐标分别是和，现有如下命题：

①该函数在上的值域是；

②在上，当且仅当时函数取最大值；

③该函数的最小正周期可以是；    ④的图象可能过原点．

其中的真命题有__________．（写出所有真命题的序号）

14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.

求Sn_________

15．数列中，，以后各项由公式给出，则等于_____.

16．已知，．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是__．

三、解答题

17．已知函数．

（1）若函数的图象关于直线对称，且，求函数的单调递增区间；

（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．

18．如图，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作矩形，然后沿边将矩形翻折，使平面与平面垂直．

（1）求证：平面；

（2）若点到平面的距离为，求三棱锥的体积．

19．．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

20．在直角梯形PBCD中，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图．

（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．

21．已知以为首项的数列满足：（）.

（1）当时，且，写出、；

（2）若数列（，）是公差为的等差数列，求的取值范围；

22已知函数f(x)＝λln x－e-x(λ∈R)．

(1)若函数f(x)是单调函数，求λ的取值范围；

(2)求证：当0<x1<x2时，

20192020学年度高三年级12月份月考

应届数学答案

13．④       14．      15．       16．

17．.试题解析：

（1）函数 ，......................2分

∵函数的图象关于直线对称，

∴，且，∴（），.

由解得（），.....................4分

函数的单调增区间为（）．.....................5分

（2）由（1）知，

∵，∴，

∴，即函数单调递增；

，即函数单调递减．.....................7分

又，∴当 或时，函数有且只有一个零点，

即或，

∴．............................................10分

18.（1）见解析；（2）．

解析：（1）证明：在矩形中，

因为面面，

所以面，所以

又在直角梯形中，，，，所以，

在中，，，.........................................4分

所以：

所以：，

所以：面...................................................6分

（2）由（1）得：面面，

作于，则面

所以：.........................................8分

在中，

即：，解得

所以：........................................12分

19.解　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，

则1＝＋≥2＝，得xy≥64，

当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．.........................................6分

(2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，

因为x>0，所以y>2，

则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，

当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．........................................12分

解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立．.........................................12分

20.（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；.........................................4分

（2）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得 ，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可

（法二：空间向量法）

（1）同法一

（2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可

解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，

所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，

因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B

所以BC⊥平面SAB，

又SA⊂平面SAB，

所以BC⊥SA，

又SA⊥AB，BC∩AB=B

所以SA⊥平面ABCD，

（2）在AD上取一点O，使，连接EO

因为，所以EO∥SA

因为SA⊥平面ABCD，

所以EO⊥平面ABCD，

过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，

则AC⊥平面EOH，

所以AC⊥EH．

所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，．

在Rt△AHO中，

∴，

即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分

解法二：（1）同方法一

（2）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）

∴平面ACD的法向为.........................................6分

设平面EAC的法向量为=（x，y，z），

由，

所以，可取

所以=（2，﹣2，1）．.........................................9分

所以

所以

即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分

21.（1），；（2）

【解析】(1)因为以为首项的数列满足：，，，

所以，所以；由得；...........4分

(2)因为数列（，）是公差为的等差数列，

所以，所以，.......................6分

所以，所以，

所以，      .........................................8分

故，所以，

因为，       .........................................10分

所以由题意只需：，故..........................................12分

22.解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

∵f(x)＝λln x－e-x，∴f′(x)＝＋e－x＝，

∵函数f(x)是单调函数，∴f′(x)≤0或f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，....2分

①当函数f(x)是单调递减函数时，f′(x)≤0，

∴≤0，即λ＋xe－x≤0，λ≤－xe－x＝－，

令φ(x)＝－，则φ′(x)＝，

当0<x<1时，φ′(x)<0，当x>1时，φ′(x)>0，

则φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

∴当x>0时，φ(x)min＝φ(1)＝－，∴λ≤－；.........................................4分

②当函数f(x)是单调递增函数时，f′(x)≥0，

∴≥0，即λ＋xe－x≥0，λ≥－xe－x＝－，

由①得φ(x)＝－在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，x→＋∞时，φ(x)<0，∴λ≥0.

综上，λ≤－或λ≥0..........................................6分

(2)证明：由(1)可知，当λ＝－时，f(x)＝－ln x－e－x在(0，＋∞)上单调递减，∵0<x1<x2，∴f(x1)>f(x2)，即－ln x1－e-x1>－ln x2－e-x2，

∴e-x2－e-x1>ln x1－ln x2.

要证e1-x2－e1-x1>1－.只需证ln x1－ln x2>1－，即证ln >1－，

令t＝，t∈(0,1)，则只需证ln t>1－，.........................................10分

令h(t)＝ln t＋－1，则当0<t<1时，h′(t)＝<0，

∴h(t)在(0,1)上单调递减，又h(1)＝0，∴h(t)>0，即ln t>1－，得证．...................12分