2020届安徽省十四校联盟高三上学期11月段考数学（理）试题（解析版）

2020届安徽省十四校联盟高三上学期11月段考

数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先化简集合，求出，即可求出结果.

【详解】

由题意得，，则，

∴.

故选:C.

【点睛】

本题考查集合间的运算，属于基础题.

2．已知向量与方向相反，，，则（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【解析】由与关系，求出，即可求出结果.

【详解】

∵，∴，又向量与方向相反，

且，∴，∴.

故选:B.

【点睛】

本题考查向量间的关系，以及向量的坐标表示，属于基础题.

3．若，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】取特殊值排除选项，然后再用不等式性质证明其它选项.

【详解】

取，，，排除A；

取，排除B，C，故选D.

或推导选项D正确如下：

.

故选:D

【点睛】

本题考查不等式的性质，解题注意特殊方法的应用，属于基础题.

4．下列命题中正确的是（    ）

A．， B．，

C．若是真命题，则是假命题 D．是假命题

【答案】C

【解析】取特殊值判断A,B选项不正确；根据或且非的命题关系，判断选项C正确；选项D不正确.

【详解】

，，故A错误；

当时，，故B错误；

∵是真命题，∴是假命题，是真命题，

∴是假命题，故C正确；

选项D显然错误 .

故选:C.

【点睛】

本题考查判断命题的真假，属于基础题.

5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ）

A．167 B．168 C．169 D．170

【答案】C

【解析】根据题意得出的通项，即可求解.

【详解】

由题意得，被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数，

∴，，由，得，

∵，∴此数列的项数为169.

故选:C.

【点睛】

本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式，以及考查计算能力，属于基础题.

6．已知函数为奇函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据奇函数的定义，求出的值，即可求出结论.

【详解】

∵函数为奇函数，，

，解得，

∴，则.

故选:B.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性的应用，考查特殊角的三角函数，属于基础题.

7．曲线，以及直线所围成封闭图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用定积分的几何意义，即可得到结论.

【详解】

由题意得.

故选A.

【点睛】

本题考查区域面积的计算，根据定积分的几何意义，是解题的关键，属于基础题.

8．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，若的面积为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据正弦定理，把角化为边，结合面积公式，再用余弦定理，即可求解.

【详解】

由题意得，，.

又，解得，

∴，

.

故选:B.

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式，在解三角形中的应用，属于基础题.

9．已知函数，，当时，与的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据函数、的性质，利用排除法即可得出选项.

【详解】

由题意得，函数，均为偶函数，故排除A选项；

当时，，，

当时，，

∴与的图象在上有一个交点，

故选：D

【点睛】

本题主要考查分段函数、对数函数以及函数的奇偶性、单调性，综合性比较强.

10．已知数列的通项公式为，则数列的前2020项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】化简通项公式，即可求解.

【详解】

∵，∴当为偶数时，

，

∴数列的前2020项和为.

故选:C.

【点睛】

本题考查裂项相消法求数列的前项和，属于中档题.

11．已知函数，现有如下命题：

①函数的最小正周期为；

②函数的最大值为；

③是函数图象的一条对称轴.

其中正确命题的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】作出函数的图像，结合三角函数的性质，逐项分析，即可求解.

【详解】

由题意得，函数的最小正周期为，故①正确；

当时，

；

当，

；

当时，

.

作出函数的图象如图所示，可知②③正确.

故选:D.

【点睛】

本题考查三角函数的性质，图像是解题的重要辅助手段，属于中档题.

12．已知函数，若存在，，使得，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求导，确定，的关系，把表示成关于的函数，再利用求导的方法，求出最小值.

【详解】

，由题意得，

方程的两正根分别为，，

，解得，

且，，∴，，

则，；

令，，

则；

当时，恒成立，

∴在上单调递减，

∴，即的最小值为.

故选A.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调性、极值最值，构造函数是解题的关键，考查等价转化数学思想，是一道综合题.

二、填空题

13．已知实数，满足，则目标函数的最大值是______.

【答案】

【解析】作出可行域，数形结合即可求解目标函数的最值.

【详解】

作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，

其中，，.

作直线：，平移直线，

当其经过点时，取得最大值，即.

故答案为:15

【点睛】

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题.

14．平行四边形中，点是线段的中点，若，则______.

【答案】

【解析】由向量加法的平行四边形法则、向量的减法、平面向量的基本定理，

可得，利用对应系数相等即可求解.

【详解】

∵，

∴.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了平面向量的基本定理、向量加法的平行四边形法则、向量的减法，属于基础题.

15．设为数列的前项和，已知，对任意，都有，则（且）的最小值为______.

【答案】

【解析】取，得出是等比数列，求出，转化为关于的函数，利用求最值的方法即可求解.

【详解】

当时，，

∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，

∴，∴，∴，

∴，

∴，

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为:32

【点睛】

本题考查等比数列的定义、通项公式、前项和公式，考查基本不等式的应用，属于中档题.

16．若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则______.

【答案】或

【解析】设两曲线的切点坐标，各自求出切线方程，利用两切线重合关系，即可求解.

【详解】

令，，则，.

设切点分别，，

则切线方程为，即；

，即，

∴，即，

∴，∴或.

当时，切线方程为，∴；

当时，切线方程为，∴.

综上所述，或.

故答案为: 或

【点睛】

本题考查函数图像的切线求法，考查导数的几何意义，考查计算能力，属于较难题.

三、解答题

17．已知：，：函数在区间上没有零点.

（Ⅰ）若，且命题为真命题，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）实数的取值范围是；（Ⅱ）实数的取值范围是.

【解析】（Ⅰ）首先求出命题、为真命题时的取值范围，然后再根据“且”命题的真假判断方法确定、的真假性即可求解.

（Ⅱ）由是成立的充分不必要条件，得出两命题中的集合之间的包含关系，从而求出参数的取值范围.

【详解】

（Ⅰ）当时，：，

由函数在区间没有零点，

得或，

解得或，

∵为真命题，

∴为真命题，为假命题，

当为假命题时，，

∴实数的取值范围是.

（Ⅱ）∵是成立的充分不必要条件，又恒成立，

∴或，解得，

∴实数的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查命题的真假求参数的取值范围，解题的关键是根据命题的关系推出集合之间的关系，属于基础题.

18．把正弦函数函数图象沿轴向左平移个单位，向上平移个单位，然后再把所得曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来，所得曲线是.点是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，且.

（1）求解析式；

（2）求的值.

【答案】(1) (2)

【解析】（1）根据平移变换和伸缩变换得出解析式，结合几何意义即可求出；

（2）根据函数性质，求出三点横坐标之间关系，代入函数即可求解.

【详解】

（1）由题意可得，

，

∵，且，

∴..

（2）设，，

则，

即

则

解得，则，

∵

∴.

【点睛】

此题考查三角函数图像性质，平移变换和伸缩变换，尤其结合图像特征求解参数对数形结合能力要求较高.

19．已知函数.

（Ⅰ）当时，证明：有且只有一个零点；

（Ⅱ）求函数的极值.

【答案】（Ⅰ）详见解析； （Ⅱ）当时，极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，极大值为，极小值为.

【解析】（1）求导，确定函数的单调区间，结合零点存在性定理，即可求证；

（2）求导，对分类讨论，求出单调区间，进而确定是否有极值，即可求解.

【详解】

（Ⅰ）当时，，定义域为，

∴，

∴在上单调递增，∴至多有一个零点.

又，，

则，∴在上有且只有一个零点.

（Ⅱ）由题意得，，

，

当时，当时，，

当时，，当时，，

∴函数在和上单调递增，在上单调递减，

∴极大值为，

极小值为；

当时，，

∴函数在上单调递增，无极值；

当时，当时，，当时，，

当时，，

∴函数在和上单调递增，在上单调递减，

∴极大值为，极小值为.

【点睛】

本题考查导数在函数中的应用，涉及到函数的单调性，零点的存在性，以及极值，属于中档题.

20．已知为数列的前项和，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.

【解析】（1）由前项和与通项关系，即可求出通项公式；

（2）根据数列的通项公式特征，可用错位相减法或裂项相消法求前项和.

【详解】

（Ⅰ）令，得，

∴，解得，

∴，即；

当时，，

当时，适合上式，∴.

（Ⅱ）方法一：由题意得，，

∴，

∴，

两式相减得，

，

整理得，.

方法二：由题意得，，

∴

.

【点睛】

本题考查已知数列的前和求通项公式，以及用错位相减法或裂项相消法求数列的前项和，考查计算能力，属于中档题.

21．在中，内角，，的对边分别是，，，已知，点是的中点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求中线的最大值.

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.

【解析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；

（2）根据余弦定理求出边的不等量关系，再用余弦定理把用表示，即可求解；或用向量关系把用表示，转化为求的最值.

【详解】

（Ⅰ）由已知及正弦定理得.

又，

且，∴，即.

（Ⅱ）方法一：在中，由余弦定理得，

∵，当且仅当时取等号，∴.

∵是边上的中线，∴在和中，

由余弦定理得，，①

.②

由①②，得，

当且仅当时，取最大值.

方法二：在中，由余弦定理得，

∵，当且仅当时取等号，∴.

∵是边上的中线，∴，两边平方得

，∴，

当且仅当时，取最大值.

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.

22．已知函数，.

（Ⅰ）若，判断函数的单调性；

（Ⅱ）若对于，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）在上单调递增；（Ⅱ）.

【解析】（1）求导，判断导函数的正负，即可求解；

（2）构造函数，不等式恒成立，转化为求函数的最小值不小于零，对分类讨论，求导，求出函数的单调区间，即可求解.

【详解】

（Ⅰ）由题意得，，

则，

当时，，

，∴，

∴函数在上单调递增.

（Ⅱ）由题意得，在上恒成立；

∵，∴，.

①当时，在上恒成立；

②当时，设，

则，

当时，，则，

又，∴，

∴在上单调递增，∴，符合题意；

当时，令，

则，在区间上恒成立，

∴在区间上单调递增，∴，

，

∴存在，使得.

当时，，单调递减，

∴，不符合题意.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查函数的导数研究函数的单调性，以及函数的导数在求函数最值的应用，解题的关键是将恒成立问题转化为函数的最值问题解决，体现了转化的思想和分类讨论的思想，属于难题.