2020届广东省广州市高三12月调研测试数学理试题

这是一份2020届广东省广州市高三12月调研测试数学理试题，共18页。试卷主要包含了12等内容，欢迎下载使用。
2019.12
本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号、并将试卷类型（A）填图在答题卡的相应位置上。
作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡各题目制定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔盒涂改液，不按以上要求作答无效。
考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图1，已知全集U=Z，集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B={1，2，3，4}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{3，4}B．{－2，－1，0}C．{1，2}D．{2，3，4}
2．已知Z=（i为虚数单位）,在复平面内，复数Z对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知，，，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．-7B．-6C．1D．6
5．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．则（ ）
A．B．C．D．
6．如图2，利用该算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（ ）
A．2B．3
C．4D．5
已知F为双曲线的右焦点，过F做C的渐近线的垂线FD，垂足为D，且满足（O为坐标原点），则双曲线的离心力为（ ）
A．B．2C．3D．
8．函数的大致图像是（ ）
9．如图3，在中，则（ ）
A．B．3C．D．-3
10．1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳的行星距离的法则。记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：
除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律），当是德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28还有一颗大行星，1801年，意大利天文学家皮亚齐用过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带。请你根据这个定则，估算从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是
A．388B．772C．1540D．3076
11．已知点A,B关于坐标原点O对称，，以M为圆心的圆过A,B两点，且与直线相切，若存在定点P，使得当A运动时，为定值，则点P的坐标为
A．B．C．D．
12．已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则__________.
14．若展开式的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项的值是__________.
15．已知某三棱锥的侧棱长大雨底边长，其外接球体积为，三视图如图3所示，则其侧视图的面积为__________.
16．在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为，记△ABC的面积为S，且，则的最大值为__________.
解答题：共70分。解答应些出文字说明证明过程或演算步骤。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
（12分）已知为单调递增的等差数列，，，设数列满足，.
求数列的通项；（2）求数列的前项和.
18.（12分）如图5，已知四边形ABCD是变成为2的菱形，∠ABC=60°，平面AEFC⊥平面ABCD，
EF∥AC，AE=AB,AC=2EF.
（1）求证：平面BED⊥平面AEFC；
（2）若四边形AEFC为直角梯形，且EA⊥AC，求二面角B-FC-D的余弦值。
19.（12分）某城市A公司外卖配送员底薪是每月1800元/人，设每月每人配送的单数为X，若X∈[1，300]，每单提成3元，若X∈（300，600），每单提成4元，若X∈（600，+∞），每单提成4.5元，B公司配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y，若Y∈[1，400]，每单提成3元，若Y∈（400，+∞），每单提成4元，小想在A公司和B公司之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据，如下表：
表1：A公司配送员甲送餐量统计
表2：B公司配送员乙送餐量统计
（1）设A公司配送员月工资为f（X），B公司配送员月工资为g（Y），当X=Y且X，Y∈[300，600]时，比较f（X）与g（Y）的大小关系
（2）将甲乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率
（i）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E（X）和E（Y）
（ii）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
20.（12分）已知椭圆的右焦点F到左顶点的距离为3.
求椭圆C的方程；
设O是坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A,B两点（A,B不在x轴上），若,延长AO交椭圆与点G，求四边形AGBE的面积S的最大值.
21.（12分）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，证明：A．
B．
C．
D．
星名
水星
金星
地球
火星
木星
土星
与太阳的距离
4
7
10
16
52
100
日送餐量x（单）
13
14
16
17
18
20
天数
2
6
12
6
2
2
日送餐量x（单）
11
13
14
15
16
18
天数
4
5
12
3
5
1
（二）．选考题：共10分，请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
（1）求曲线C和直线的直角坐标系方程；
（2）已知直线与曲线C相交于A,B两点，求的值
【选修4—5：不等式选讲】（10分）
已知
（1）当时，求不等式 的解集；
（2）若时，，求的取值范围.
参考答案
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图1，已知全集U=Z，集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B={1，2，3，4}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{3，4}B．{－2，－1，0}C．{1，2}D．{2，3，4}
答案：A
2．已知Z=（i为虚数单位）,在复平面内，复数Z对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：C
3．已知，，，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
4．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．-7B．-6C．1D．6
答案：A
5．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
6．如图2，利用该算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（ ）
A．2B．3
C．4D．5
答案：B
7、已知F为双曲线的右焦点，过F做C的渐近线的垂线FD，垂足为D，且满足（O为坐标原点），则双曲线的离心力为（ ）
A．B．2C．3D．
答案：A
8．函数的大致图像是（ ）
答案：D
9．如图3，在中，则（ ）
A．B．3C．D．-3
答案：A
10．1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳的行星距离的法则。记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：
除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律），当是德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28还有一颗大行星，1801年，意大利天文学家皮亚齐用过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带。请你根据这个定则，估算从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是
A．388B．772C．1540D．3076
答案：B
11．已知点A,B关于坐标原点O对称，，以M为圆心的圆过A,B两点，且与直线相切，若存在定点P，使得当A运动时，为定值，则点P的坐标为
A．B．C．D．
答案：C
12．已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
答案：D
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则__________.
答案：
14．若展开式的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项的值是__________.
答案：135
15．已知某三棱锥的侧棱长大雨底边长，其外接球体积为，三视图如图3所示，则其侧视图的面积为__________.
答案：6
16．在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为，记△ABC的面积为S，且，则的最大值为__________.
答案：
17.（12分）已知为单调递增的等差数列，，，设数列满足，.
求数列的通项；（2）求数列的前项和.
解：（1），又
数列是递增的，解得：
所以，公差＝2，首项＝4，所以，
（2） ①
n≥2 ②
①-②得：，n≥2，
n＝1时，＝6也满足上式，
所以，，
数列是以6为首项，2为公式的等比数列，
18.（12分）如图5，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，平面AEFC⊥平面ABCD，
EF∥AC，AE=AB,AC=2EF.
（1）求证：平面BED⊥平面AEFC；
（2）若四边形AEFC为直角梯形，且EA⊥AC，求二面角B-FC-D的余弦值。
解：（1）平面AEFC⊥平面ABCD，平面AEFC∩平面ABCD＝AC，
菱形ABCD中，BD⊥AC，
所以，BD⊥平面AEFC，
又BD平面BED，所以，平面BED⊥平面AEFC
（2）平面AEFC⊥平面ABCD，平面AEFC∩平面ABCD＝AC，
EA⊥AC，所以，EA⊥平面ABCD，
直角梯形中，AC＝2EF，设AC交BD于O，连结FO，则有AO＝EF，AO∥EF，
所以，AOFE为平行四边形，所以OF∥EA，
所以，FO⊥平面ABCD，
菱形ABCD中，∠ABC=60°，所以，三角形ABC为等边三角形，
设OC＝1，则OF＝AE＝AB＝2，OB＝OD＝，
B（，0，0），C（0，1，0），F（0，0，2），D（－，0，0），
＝（－，1，0），＝（－，0，2），
设平面BCF的法向量为，
则，令，可得：＝（2,2，），
同理可求得平面DCF的法向量＝（2,－2，－），
求得二面角B-FC-D的余弦值为－
A．
B．
C．
D．
星名
水星
金星
地球
火星
木星
土星
与太阳的距离
4
7
10
16
52
100
19.（12分）某城市A公司外卖配送员底薪是每月1800元/人，设每月每人配送的单数为X，若X∈[1，300]，每单提成3元，若X∈（300，600），每单提成4元，若X∈（600，+∞），每单提成4.5元，B公司配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y，若Y∈[1，400]，每单提成3元，若Y∈（400，+∞），每单提成4元，小想在A公司和B公司之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据，如下表：
表1：A公司配送员甲送餐量统计
表2：B公司配送员乙送餐量统计
（1）设A公司配送员月工资为f（X），B公司配送员月工资为g（Y），当X=Y且X，Y∈[300，600]时，比较f（X）与g（Y）的大小关系
（2）将甲乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率
（i）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E（X）和E（Y）
（ii）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
解：(1) X=Y且X，Y∈[300，600],
所以，g（Y）＝g（X），
当X∈（300，400]时，
f（X）－g（Y）＝f（X）－g（X）＝（1800＋4X）－（2100＋3X）＝X－300＞0，
当X∈（400，600]时，
f（X）－g（Y）＝f（X）－g（X）＝（1800＋4X）－（2100＋4X）＝－300＜0，
当X∈（300，400]时，f（X）＞g（Y）
当X∈（400，600]时，f（X）＜g（Y）
（2）（i）送餐量X的分布列为：
送餐量Y的分布列为：
则E（X）＝16，E（Y）＝14
20.（12分）已知椭圆的右焦点F到左顶点的距离为3.
求椭圆C的方程；
设O是坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A,B两点（A,B不在x轴上），若,延长AO交椭圆与点G，求四边形AGBE的面积S的最大值.
解：
如图，SAGBE＝3S△AOB＝3××｜OF｜×｜y1－y2｜＝
＝
令，
则SAGBE＝＝，在［1，＋∞）上单调递减，
所以，当t＝1时，SAGBE有最大值为
21.（12分）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，证明：
解：（1）定义域为（0，＋∞），
，
令，令，得，
①若△≤0，则，此时，恒成立；
②
（二）．选考题：共10分，请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
（1）求曲线C和直线的直角坐标系方程；
（2）已知直线与曲线C相交于A,B两点，求的值
解：
【选修4—5：不等式选讲】（10分）
已知
（1）当时，求不等式 的解集；
（2）若时，，求的取值范围.
解：
日送餐量x（单）
13
14
16
17
18
20
天数
2
6
12
6
2
2
日送餐量x（单）
11
13
14
15
16
18
天数
4
5
12
3
5
1
X
13
14
16
17
18
20
P
Y
11
13
14
15
16
18
P