2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

这是一份2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学（理）试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学（理）试题  一、单选题1．若复数，则其虚部为（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi的形式，即可得到复数的虚部．【详解】因为复数i．所以复数的虚部1故选：A．【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．2．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】解不等式得出集合B，根据交集的定义写出A∩B．【详解】,则故选：C【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．3．已知等比数列的各项均为正实数，其前项和为，若，，则（    ）A．32 B．31 C．64 D．63【答案】B【解析】设首项为a1，公比为q，由，又a3＝4，可得q＝2，再利用求和公式即可得出．【详解】设首项为a1，公比为q>0，由，又a3＝4，∴q＝2，又因为，所以a1＝1，所以S5＝31，故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知则(  )A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可得，=，由的性质可得a＜c，同理可得，=，由可得c＜b，可得答案.【详解】解：由题意得：，=，在为单调递增函数，a＜c，同理可得：，=，在R上为单调递增函数，c＜b，综上，故选C.【点睛】本题主要考查利用指数函数、幂函数比较函数值的大小，需熟练掌握指数函数、幂函数的性质.5．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意利用二倍角公式可得sinx+cosx，平方利用同角三角函数的基本关系，可得sin2x的值．【详解】∵sinx+2cos2sinx+cosx+1，∴sinx+cosx，平方可得1+2sinxcosx， 则sin2x＝2sinxcosx，故选：B．【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．6．已知，则（    ）A．81 B．80 C．65 D．64【答案】B【解析】分别令，代入原式，即可求出结果.【详解】因为令，可得，即；令，可得：，即，所以.故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理即可，属于常考题型.7．已知变量，满足，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，再由z的几何意义求解得答案．【详解】由变量x，y满足作出可行域如图： A（2，3），解得B（，），z的几何意义为可行域内动点与定点D（3，﹣1）连线的斜率．∵kDA4，kDB13．∴z的取值范围是[﹣13，﹣4]．故选：B．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．已知扇形，，扇形半径为，是弧上一点，若，则（    ）.A． B． C． D．【答案】D【解析】将已知等式两边同时平方，利用数量积的运算法则计算，可得到cos，即可求得结果.【详解】由，两边同时平方得=，则有3=4+1+2=5+22cos，∴cos，，故选D.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查了夹角的求法，属于基础题.9．一个几何体的三视图如图所示．则其体积为（    ）  A． B． C． D．【答案】C【解析】先由三视图还原该几何体，得到几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，再根据图中数据，结合棱柱与棱锥的体积公式即可得出结果.【详解】由三视图还原该几何体如下：该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，因此其体积为：.故选：C【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的体积，熟记几何体的结构特征，以及棱锥与棱柱的体积公式即可，属于常考题型.10．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由三角形全等可得∠ABD＝∠ACD＝90°，故而AD为棱锥外接球的直径，根据勾股定理得出AD关于AB的函数，求出AD的最小值即可得出答案．【详解】∵AB＝AC，DB＝DC，AD为公共边，∴△ABD≌△ACD，又AB⊥BD，即∠ABD＝90°，∴∠ACD＝90°，设AD的中点为O，则OA＝OB＝OD＝OC，∴O为棱锥A﹣BCD的外接球的球心．∵AB+BD＝4，∴AD2＝AB2+（4﹣AB）2＝2AB2﹣8AB+16＝2（AB﹣2）2+8，∴当AB＝2时，AD2取得最小值8，即AD的最小值为2，∴棱锥外接球的最小半径为AD，∴外接球的最小体积为V．故选：C．【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，确定球心位置是解题的关键，属于中档题．11．已知函数，若,且 ，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，则当时，得，即，则满足，则，即，则，设，则，当，解得，当，解得，当时，函数取得最小值，当时，；当时，，所以，即的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.12．已知实数满足，，则的最大值为（  ）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】设点在圆上，且，原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，据此数形结合确定的最大值即可.【详解】设点在圆上，且，原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，如图所示，易知取得最大值时点A,C均位于直线下方，作直线于点，直线于点，取的中点，作直线于点，由梯形中位线的性质可知，当直线时，直线方程为，两平行线之间的距离：，由圆的性质，综上可得：的最大值.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查距离公式的应用，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.  二、填空题13．的值为________．【答案】1【解析】根据微积分基本定理，可直接计算出结果.【详解】.故答案为：【点睛】本题主要考查求定积分，熟记微积分基本定理即可，属于基础题型.14．已知双曲线虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】设双曲线的一个虚轴的端点为（0，b），渐近线方程为y＝bx，运用点到直线的距离公式可得b，再由离心率公式，可得所求值．【详解】设双曲线虚轴的一个端点（0，b）到它的一条渐近线y＝bx（b＞0）的距离为，可得，解得b，则双曲线的离心率e2，故答案为：2【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查点到直线的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15．已知递增的等差数列的前n项和为，且，．若，数列的前项和为，则________．【答案】【解析】先由数列为递增的等差数列，得到，公差，根据，，求出首项与公差，得到，求出，根据裂项相消的方法即可求出结果.【详解】因为为递增的等差数列，所以，公差，又为等差数列的前n项和，，所以，即，由，解得：或，所以或（舍）；因此，所以，又数列的前项和为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查求数列的和，熟记裂项相消法，以及等差数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 三、解答题16．已知函数，，且，，恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】先由恒成立，得到恒成立，令，得到在上恒成立，所以函数在区间上单调递减，对函数求导，得到在上恒成立，推出在上恒成立，令，用导数的方法研究其单调性，求出最值，即可得出结果.【详解】因为，，恒成立，即恒成立，即恒成立，令，则在上恒成立，即函数在区间上单调递减，又，因此在上恒成立，当时，不等式可化为显然成立；当时，不等式可化为，令，则在区间上恒成立，所以函数在区间上单调递减，因此，所以，即实数a的取值范围是.【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数，熟记导数的方法研究函数单调性，最值等即可，属于常考题型.17．某调查机构为了解人们对某个产品的使用情况是否与性别有关，在网上进行了问卷调查，在调查结果中随机抽取了份进行统计，得到如下列联表： 男性女性合计使用15520不使用102030合计252550 （1）请根据调查结果分析：你有多大把握认为使用该产品与性别有关；（2）在不使用该产品的人中，按性别用分层抽样抽取人，再从这人中随机抽取人参加某项活动，记被抽中参加该项活动的女性人数为，求的分布列和数学期望．附：，0.0100.0050.0016.6357.87910.828  【答案】（1）有把握认为使用该产品与性别有关（2）详见解析【解析】（1）由题中数据，根据得到的观测值，根据临界值表，即可得出结果；（2）由题意，根据分层抽样的方法得到抽取人则男性应抽取人，女性应抽取人，再从中随机抽取人参加某项活动，记女生的人数为，由题意确定的所有可能取值，求出对应的概率，进而可得出分布列，求出期望.【详解】（1）由题中数据可得,，由于，所以有把握认为使用该产品与性别有关．（2）由列联表知，不使用该产品的人数为，其中男性人，女性人，按性别用分层抽样抽取人则男性应抽取人，女性应抽取人，再从中随机抽取人参加某项活动，记女生的人数为，则的所有可能取值为：，，，且，，，所以的概率分布列为 数学期望为：．【点睛】本题主要考查独立性检验，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记独立性检验的基本思想，以及离散型随机变量的分布列与期望的概念即可，属于常考题型.18．已知，，分别是的三个内角，，的对边，且.（1）求角的值；（2）若，边上的中线的长为，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A的值：（2）若AB＝3，AC边上的中线BD的长为，求出AC，再求△ABC的面积．【详解】（1）由及正弦定理得：，即，即，即，因为，所以，则，又，所以.（2）在中，，，，由余弦定理得，所以，所以（负值舍去），又为中点，所以.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）试确定点的位置，使得二面角的余弦值为．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）点在的中点.【解析】试题分析：(Ⅰ)首先根据余弦定理计算,在中满足勾股定理，,然后根据题设所给的平面,得到,这样就证明了线面垂直的条件；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC、BA、BC1两两垂直，以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，设，这样设点的坐标，求平面和平面的法向量，根据求，确定点E的位置.试题解析：解：（Ⅰ）证明：∵BC=，CC1=BB1=2，∠BCC1=，在△BCC1中，由余弦定理，可求得C1B=，∴C1B2+BC2=，即C1B⊥BC． 又AB⊥侧面BCC1B1，故AB⊥BC1，又CB∩AB=B，所以C1B⊥平面ABC； （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC、BA、BC1两两垂直，以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（，0，0），C1（0，0，），B1（﹣，0，），∴=（0，2，﹣），设，则=+λ=（0，0，﹣）+λ（﹣，0，）=（﹣λ，0，﹣+λ）设平面AC1E的一个法向量为=（x，y，z），由，得，令z=，取=（，1，），又平面C1EC的一个法向量为=（0，1，0）所以cos＜，＞===，解得λ=．所以当λ=时，二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为． 【考点】1.空间向量的应用；2.线面垂直的证明.【方法点睛】主要考察了空间向量的应用，属于基础题型，利用空间向量求立体几何中的常见问题的解决方法，（1）证明垂直时，证明线线垂直，即证明直线的方向向量的数量积等于0，证明线面垂直，即证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直，即数量积等于0，（2）求异面直线所成角，先求异面直线的方向向量，代入公式，（3）求线面角，先求直线的方向向量和平面的法向量，代入公式，（4）求二面角，先求两个平面的法向量，根据公式，根据二面角的大小确定二面角或.20．已知，是椭圆：上的两点，线段的中点在直线上.（1）当直线的斜率存在时，求实数的取值范围；（2）设是椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，使，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设中点，利用点差法得，由点在椭圆内部得，即可求解k的范围（2）向量坐标化得，，弦长公式得由点在椭圆上，得，进而得AB方程，与椭圆联立得，则可求【详解】（1）设，，则，，两式相减得：，由线段的中点在直线上，可设此中点，因为直线的斜率存在，所以，设其斜率为，由式得，即.由于弦的中点必在椭圆内部，则，解得.又，所以斜率的取值范围为.（2）由（1）知，，因为椭圆的左焦点为，所以，，设，则，，，，同理可得，因为点在椭圆上，所以，解得.当时，，直线的方程为，代入得，由根与系数关系得.则.由对称性知，当时也成立，.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的应用，熟练应用韦达定理及弦长公式求解计算是关键，是中档题21．已知函数．（1）当时，求函数在上的最小值；（2）若，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）由得，对其求导，解对应的不等式，判断单调性，即可得出最值；（2）先对函数求导，得到，根据，判断函数的单调性，求出最小值，再由导数的方法研究最小值的范围，即可证明结论成立.【详解】（1）当时，由，得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，∴．（2）由题意，函数的定义域为，，令，，则，设，则，易知在上单调递增，∵，∴，，所以存在唯一的，使，当时，单调递减，当时，，单调递增，又∵，，∴当时，，即在上无零点，∴存在唯一的，使，即，∵，∴，则．当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增．∴，．令，则在上单调递减，∵∴，又∵∴，从而．【点睛】本题主要考查求函数的最值，以及由导数的方法证明不等式恒成立，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，极值，最值等即可，属于常考题型.22．已知直线：与曲线：，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线，这两条直线与曲线分别交于异于极点的，两点，求的面积.【答案】（1）直线：，曲线：；（2）【解析】（1）利用 化极坐标方程；（2）由题极坐标方程为：，进而得，，利用面积公式求解即可【详解】（1）则直线的方程为：，∴极坐标方程为：；曲线的方程：，即，∴极坐标方程为：.（2）将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线，则极坐标方程为：，设，，则，，所以的面积.【点睛】本题考查极坐标与普通方程的应用，考查极坐标的几何意义，考查面积公式，准确应用几何意义是关键，是基础题23．已知函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若对任意，不等式都成立，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）当时，，分类讨论，即可求解不等式的解集；（Ⅱ）把不等式都成立，转化为恒成立，分类讨论即可求解．【详解】（Ⅰ）由题意，当时，，故或或，解得：或，故不等式的解集是； （Ⅱ）若对任意，不等式都成立，则恒成立，当时，恒成立，故，解得：，当时，，解得：，综上，．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题的转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．