2020届湖南省益阳市高三上学期普通高中期末考试数学理试题

秘密★启用前

                                                      姓 名

                                                     准考证号

2020届湖南省益阳市高三上学期普通高中期末考试

高三理数

     本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在 答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结朿后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 A={} ,B= { }，则

A.      B.

C. (2,5]   D. 

2.已知复数，则复数的虚部为

A.    B.   C.    D.

3. 已知函数，则在(0，)处的切线方程为

A.   B.

C.   D.

4.设满足约束条件,则的最大值是

A. 2 B. 6 C. 10 D.14

5. 已知函数，则函数的最小正周期是

A.  B.   C.   D.

6.若输入的值为7,则输出结果为

A.  B.  

C.    D.

7.如图，在各棱长均为2的正三棱柱(底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）中， P，E, F分别是的中点，则四棱锥

的体积为

A.   B.  

C.   D.

8.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为

A. 2 B.  C. 3 D.

9. 展开式中含的项的系数为

A.-112     B.112    C.-513    D.513

10.已知双曲线C: 的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C的右支上一点，连接PF1与轴交于点M，若 (O为坐标原点），，则双曲线C的渐近线方程为

A.      B.

C.      D.

11.已知三棱锥P —ABC中，PA丄平面ABC，,若三棱锥P —ABC外接球的表面积为，则直线PC与平面ABC所成角的正弦值为

A.  B.   C.   D.

12.已知定义在R上的奇函数恒有，当时，，则 当函数在[0,7]上有三个零点时，的取值范围是

A.  B.  

 C.   D.

第Ⅱ卷

    本卷包括必考题和选考题两部分。第13〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22〜23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.已知在平行四边形ABCD中，，则       .

14.已知是第四象限的角，且满足，则        .

15.—个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球.规则如下:若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸;若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是                    .

16.已知抛物线C: 的准线为，过点（-1，0)作斜率为正值的直线交C于A，B两点， AB的中点为M，过点A，B，M分别作轴的平行线，与分别交于D，E，Q，则当取最小值时，                    .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分）

   已知数列{}的前项和为，.

(1)求及数列{}的通项公式；

(2)若，求数列{}的前项和.

18.(本小题满分12分）

    某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1000万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投资700万元，年生产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件.

(1)根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立.

①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率；

②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案.(6年的净利润=6年销售利润一设备一次性投资费用）

19.(本小题满分12分）

    如图1所示，在直角梯形DCEF中，DF//CE，FD丄DC，AB//CD,BE =AB = 2AF =2AD=4,将四边形ABEF沿AB边折成图2.

(1)求证:AC//平面DEF;

(2)若EC=，求平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值.

20.(本小题满分12分）

    已知椭圆C: 的离心率为，点（4,1)在椭圆C上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线与C交于A，B两点，是否存在，使得点M(0，1)在以AB为直径的圆外，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

21.(本小题满分12分）

    已知.  

(1)讨论的单调区间；

(2)当时，证明.

    请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方程

    在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)过点P(2,0)，倾斜角为的直线与曲线C相交于M，N两点，求的值.

23.(本小题满分10分)选修4一5:不等式选讲

    已知函数.

(1)当时，解不等式

(2)当时，不等式成立，求实数的取值范围.