2020届江苏省扬州市高三上学期期末检测数学（理）试题（word版）

2019-2020学年度第一学期期末检测试题

高三数学理科Ⅰ

2020.01

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1.已知集合，且则实数k的值为    . 

答案：4

2.设，则    .

答案：

3.用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本，在高一抽40人，高二抽30人，若高三有400人，则该校共有      人

答案：1800

4.右图是一个算法流程图，如输入的值为1，则输出的值为       .

答案：35

5.已知 则“”是“”为偶函数的      条件

答案：充要

6.若一组样本数据21,19，x,20,18的平均数为20，则该组样本数据的方差为      .

答案：2

7.在平面直角坐标系中，顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是     .

答案：

8.已知，若向区域上随机投掷一点P，则点P落在区域A的概率为      

答案：

9.等差数列的公差不为零，是和的等比中项，则    

答案：

10.已知定义在（0,）上的函数的导函数为且，则的解集为           

答案：

11.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为，母线与轴的夹角为，则这个圆台的轴截面的面积等于           

12.已知函数若存在实数满足，则的取值范围为              

13.在中，若则的最大值为        

14. 在平面直角坐标系中，和是圆上两点，且，点P的坐标为（2,1），则的取值范围为           

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15. （本小题满分14分）

已知

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若求的值。

16. （本小题满分14分）

如图，是以为底边的等腰三角形，都垂直于平面，且线段长度大于线段的长度，是的中点，是的中点。

求证：（1）平面；

（2）平面.

17. （本小题满分14分）

如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图，原有观光道路OC,且。为便于游客观赏，景点2部门决定新建两条道路PQ,PA,其中P在原道路OC(不含端点O,C)上，Q在景点边界OB上，且OP=OQ,同时维修原道路OP段。因地形原因，新建PQ段、PA段的每千米费用分别是万元，6a元，维修OP段的每千米费用是a万元。

（1）设求所需总费用，并给出的取值范围；

（2）当P距离O处多远时，总费用最小。

18. （本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右准线的方程为，分别为椭圆C的左、右焦点，A,B分别为椭圆C的左右顶点。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过T(t,0)(t>a)作斜率为k(k<0)的 直线l交椭圆C与M,N两点（点M在点N的左侧），且设直线AM，BN的斜率分别为，求的值。

19. （本小题满分16分）

已知函数

（1）若时，直线是曲线的一条切线，求b的值；

（2）若且在上恒成立，求的取值范围；

（3）令，且在区间上有零点，求的最小值.

20. （本小题满分16分）

对于项数为的有穷正项数列，记，即为中的最小值，设由组成数列称为的“新型数列”.

（1）若数列为2019,2020,2019,2018,2017，请写出的“新型数列” 的所有项；

（2）若数列满足且其对应的“新型数列” 的项数，求的所有项的和；

（3）若数列的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的及其对应的“新型数列” .

附加题

21. （本小题满分10分）

已知矩阵

（1）求矩阵的特征值及特征向量；

（2），求.

22. （本小题满分10分）

在极坐标系中，已知点的极坐标分别为，，直线的方程为.

（1）求以线段为直径的圆的极坐标方程；

（2）求直线被（1）中的圆所截得的弦长.

23. （本小题满分10分）

甲、乙两人采用五局三胜制的比赛，即一方先胜，则三局比赛结束.甲每场比赛获胜的概率均为.设比赛局数为.

（1）求得概率；

（2）求的分布列和数学期望.

24. （本小题满分10分）

已知数列满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求证：当时，.