2020届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2020届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．复数上的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】化简得到计算虚部得到答案.

【详解】

，所以的虚部为.

故选：

【点睛】

本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.

2．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】先计算得到，，再计算得到答案.

【详解】

，，所以.

故选：

【点睛】

本题考查了集合的运算，属于简单题.

3．若双曲线的实轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据实轴长得到，再根据渐近线公式得到答案.

【详解】

∵，∴，∴双曲线的渐近线方程为.

故选：

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题型.

4．已知，是两个不同的平面，，，是两条不同的直线，且，，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】根据面面垂直的性质分别判断充分性和必要性得到答案.

【详解】

若，则根据面面垂直的性质定理可得；若，则由，可得.

故选：

【点睛】

本题考查了充要条件，理解把握面面垂直的性质是解题的关键.

5．一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是（    ）

A．这组新数据的平均数为 B．这组新数据的平均数为

C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的标准差为

【答案】D

【解析】计算得到新数据的平均数为，方差为，标准差为，结合选项得到答案.

【详解】

根据题意知：这组新数据的平均数为，方差为，标准差为.

故选：

【点睛】

本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.

6．将曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】变换得到，根据平移得到，计算得到答案.

【详解】

，所以，

所以，则.

故选：

【点睛】

本题考查了三角函数的平移，变换是解题的关键.

7．已知函数若，且，则的值为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．12

【答案】B

【解析】画出函数图像，根据对称性得到，再计算得到答案.

【详解】

如图所示：根据对称性得到，则.

，所以，即，故

故选：

.

【点睛】

本题考查了函数的零点问题，画出函数图像观察性质是解题的关键.

8．已知等比数列的前n项和为，且，，则（    ）

A．16 B．19 C．20 D．25

【答案】B

【解析】利用，，成等比数列求解

【详解】

因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.

故选：B

【点睛】

本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题

9．的展开式中的项的系数为（    ）

A．120 B．80 C．60 D．40

【答案】A

【解析】化简得到，再利用二项式定理展开得到答案.

【详解】

展开式中的项为.

故选：

【点睛】

本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.

10．已知函数，.若，，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先计算的值域为，再计算在上的值域为，根据题意得到，计算得到答案.

【详解】

，，所以的值域为.

因为，所以在上的值域为

依题意得，则解得.

故选：

【点睛】

本题考查了根据函数值域求参数范围，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力.

11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，为的内心，且，若椭圆的离心率为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设内切圆的半径为，根据题意化简得到，代入数据计算得到答案.

【详解】

设内切圆的半径为

则，，·

∵，∴

整理得.∵为椭圆上的点，∴，解得.

故选：

【点睛】

本题考查了椭圆离心率相关问题，根据面积关系化简得到是解得的关键.

12．设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】令，易得是定义在上的偶函数，因为，可知在上单调递减，在上单调递增，从而可以根据函数的单调性，确定不等式的解.

【详解】

令，∵是定义在上的奇函数，

∴是定义在上的偶函数．

当时，，由，得，

∴，则在上单调递减．

将化为，即，则．

又是定义在上的偶函数．

∴在上单调递增，且．

当时，，将化为，

即，则．

综上，所求不等式的解集为．

故选：B

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及利用函数的单调性解不等式，构造函数是解决本题的关键.

二、填空题

13．当取得最小值时，______.

【答案】4

【解析】变换得到，再利用均值不等式得到答案.

【详解】

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：

【点睛】

本题考查了利用均值不等式求函数的最值，意在考查学生的计算能力.

14．在三棱锥中，，，两两垂直，，，三棱锥的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为______.

【答案】

【解析】根据侧面积计算得到，再计算半径为，代入表面积公式得到答案.

【详解】

三棱锥的侧面积为，所以

故该三棱锥外接球的半径为：，球的表面积为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

15．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，现有满足“勾3股4弦5”，其中，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则______.

【答案】

【解析】根据等面积法得到，再计算得到答案.

【详解】

根据等面积法可得

依题意可得，所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查了向量的运算，根据等面积法计算是解题的关键.

16．在数列中，，且

（1）的通项公式为________；

（2）在，，，   ，这2019项中，被10除余2的项数为________.

【答案】    403   

【解析】（1）等式两边同除构造数列为等差数列即可求出通项公式；

（2）利用通项公式及被10除余2 的数的特点即可求解

【详解】

（1）因为，所以

，即，则为等差数列且首项为1，差为2，所以

，故

（2）因为，所以当n能被10整除或n为偶数且能被5整除时，被10除余2，所以，故被10除余2的项数为.

故答案为：；403

【点睛】

本题考查数列的通项，考查构造法，注意解题方法的积累，属于中档题．

三、解答题

17．在中，角，、的对边分别为，，，且.

（1）求；

（2）若，且，求的面积.

【答案】(1) . (2)

【解析】（1）根据正弦定理得到，计算得到答案.

（2）化简得到，即，再计算得到，代入面积公式得到答案.

【详解】

（1）∵，∴.∵，∴.

（2）∵

∴，

∴，即，即.

∵，∴.∵，∴.

∴.

【点睛】

本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.

18．如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，，点在线段上，，.

（1）证明：平面.

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析 (2)

【解析】（1）连接，证明得到四边形为平行四边形，故得到证明.

（2）作于，以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，计算平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.

【详解】

（1）证明：连接，因为底面为梯形，，，，

则，且，

所以四边形为平行四边形，则.

又平面，平面，所以平面.

（2）作于，以点为坐标原点，分别以，，所

在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

，，，，，

所以，，.

设平面的法向量为，

则令，得.

设平面的法向量为，

则令，得.

所以

因为二面角为锐角，所以其余弦值为.

【点睛】

本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

19．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.

（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望.

附：参考公式和数据：，.

附表：

【答案】(1)见解析，有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75

【解析】（1）完善列联表，计算得到答案.

（2）先计算，分别计算，，，，得到分布列，计算得到答案.

【详解】

（1）列联表如下：

，

因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

（2）可能取值为65，70，75，80，且.

，，

，，

所以的分布列为

.

【点睛】

本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.

20．已知直线与抛物线：交于，两点，为弦的中点，过作的垂线交轴于点.

（1）求点的坐标；

（2）当弦最长时，求直线的方程.

【答案】(1) . (2) 或.

【解析】（1）设，，代入抛物线相减得到，再根据计算得到答案.

（2）直线的方程为，联立方程，根据韦达定理得到，

，代入计算得到得到答案.

【详解】

（1）设，，，

则两式相减得.

因为，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，

所以.

因为，所以，

解得，所以点的坐标为.

（2）由（1）知，直线的斜率一定存在，且不为0，设直线的斜率为，

则，即，所以直线的方程为.

联立得，

则，.

由，可得，

所以.

设，令，

可知，此时，即，

所以当弦最长时，直线的方程为或.

【点睛】

本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.

21．已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求，的值和的单调区间；

（2）若对任意的，恒成立，求整数的最大值.

【答案】（1），，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）3.

【解析】（1）求导得到，根据切线方程计算得到，，代入导函数得到函数的单调区间.

（2）讨论，两种情况，变换得到，设

，求函数的最小值得到答案.

【详解】

（1），由切线方程，知，，

解得，.

故，，

由，得；由，得.

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）①当时，恒成立，则.

②当时，恒成立等价于对恒成立.

令，，.

令，，

则对恒成立，所以在上单调递增.

又，，所以，.

当时，；当时，.

所以，又，

则，

故，整数的最大值为3.

【点睛】

本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.

（1）求，，的值；

（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.

（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，，计算得到答案.

【详解】

（1）由，得，则，即.

因为，，所以.

（2）将代入，得.

设，两点对应的参数分别为，，则，.

所以.

【点睛】

本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）分别计算，，三种情况，综合得到答案.

（2）化简得到，利用绝对值三角不等式得到

，解不等式计算得到答案.

【详解】

（1）当时，，解得；

当时，，解得，则；

当时，，解得，则.

综上所述：不等式的解集为.

（2）

，当时等号成立.

若对任意，不等式恒成立，即，

解得或.

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.