陕西省宝鸡中学、西安三中等五校2020届高三上学期第一次联考数学（文）试题 Word版含解析

这是一份陕西省宝鸡中学、西安三中等五校2020届高三上学期第一次联考数学（文）试题 Word版含解析，共18页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

2019-2020学年陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三（上）第一次联考数学试卷（文科）
一、选择题
1．已知集合P＝{y|y＝2x}，Q＝{x|y＝}，则P∩Q＝（　　）
A．[﹣1，1] B．[0，+∞）
C．（﹣∞，1]∪[1，+∞） D．（0，1]
2．计算（i为虚数单位）等于（　　）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
3．已知一组数据点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x7，y7），用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据x1，x2，x3，…x7的平均数为1，则＝（　　）
A．2 B．11 C．12 D．14
4．经过原点并且与直线x+y﹣2＝0相切于点（2，0）的圆的标准方程是（　　）
A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 B．（x+1）2+（y﹣1）2＝2
C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4 D．（x+1）2+（y﹣1）2＝4
5．已知向量．若向量，则实数m等于（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
6．如图在程序框图中，若输入n＝6，则输出k的值是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BC中点，则下列叙述正确的是（　　）

A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
8．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF＝2，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（　　）

A． B． C． D．
9．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3+a7+a11是一个定值，则下列各数也为定值的是（　　）
A．S7 B．S8 C．S13 D．S15
10．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当0≤x＜2时，f（x）＝x3﹣x，则在区间[0，6]上函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的个数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
11．已知点P是双曲线右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是（　　）
A． B． C．2 D．
12．函数若a＞0＞b，且f（a）＝f（b），则f（a+b）的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0] B．[﹣1，+∞） C．[﹣1，0] D．（﹣∞，﹣1]
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数，则f（f（﹣2））＝　 　．
14．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次．甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率是　 　．
15．若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值　 　．
16．已知A、B是球O球面上的两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为　 　．
三．解答题（本题共5小题，共70分，请在指定位置写出解答过程）
17．已知函数f（x）＝a（2cos2+sinx）+b．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）当a＞0，且x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．
18．交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示．
（Ⅰ）用分层抽样的方法从交通指数在[4，6），[6，8），[8，10]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；
（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．

20．已知函数f（x）＝ex﹣ax2，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝bx+1．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．
21．如图，已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）经过点A（2，0），离心率e＝．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）设点B为椭圆与y轴正半轴的交点，点C为线段AB的中点，点P是椭圆Γ上的动点（异于椭圆顶点）且直线PA，PB分别交直线OC于M，N两点，问|OM|•|ON|是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线l：（t为参数，α为l的倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C为：ρ2﹣6ρcosθ+5＝0．
（1）若直线l与曲线C相切，求α的值；
（2）设曲线C上任意一点的直角坐标为（x，y），求x+y的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．若实数x，y，m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．
（Ⅰ）若2x比1接近3，求x的取值范围；
（Ⅱ）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．

2019-2020学年陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三（上）第一次联考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知集合P＝{y|y＝2x}，Q＝{x|y＝}，则P∩Q＝（　　）
A．[﹣1，1] B．[0，+∞）
C．（﹣∞，1]∪[1，+∞） D．（0，1]
【解答】解：∵P＝{y|y＞0}，Q＝{x|x≤1}，
∴P∩Q＝（0，1]．
故选：D．
2．计算（i为虚数单位）等于（　　）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
【解答】解：＝．
故选：C．
3．已知一组数据点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x7，y7），用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据x1，x2，x3，…x7的平均数为1，则＝（　　）
A．2 B．11 C．12 D．14
【解答】解：∵，且（）在线性回归直线上，
∴，
则＝．
故选：D．
4．经过原点并且与直线x+y﹣2＝0相切于点（2，0）的圆的标准方程是（　　）
A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 B．（x+1）2+（y﹣1）2＝2
C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4 D．（x+1）2+（y﹣1）2＝4
【解答】解：设圆心的坐标为（a，b），
则a2+b2＝r2①，
（a﹣2）2+b2＝r2②，
＝1③；
由①②③组成方程组，解得
a＝1，b＝﹣1，r2＝2；
故所求圆的标准方程是
（x﹣1）2+（y+1）2＝2．
故选：A．
5．已知向量．若向量，则实数m等于（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【解答】解：向量，若向量，
则•＝3+m＝0，
则实数m＝﹣，
故选：A．
6．如图在程序框图中，若输入n＝6，则输出k的值是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：执行程序框图，有
n＝6，k＝0
n＝13，不满足条件n＞100，k＝1；
n＝27，不满足条件n＞100，k＝2；
n＝55，不满足条件n＞100，k＝3；
n＝111，满足条件n＞100，输出k的值为3．
故选：B．
7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BC中点，则下列叙述正确的是（　　）

A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
【解答】解：CC1与B1E是异面直线，是相交直线，不正确；
因为AC与AB不垂直，所以AC⊥平面ABB1A1，不正确；
AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1，正确；
因为AC与平面AB1E相交，A1C1∥AC，所以A1C1∥平面AB1E，不正确；
故选：C．

8．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF＝2，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由题意有：AF＝2，EF＝4，∠AFC＝，FC＝6，
再△AFC中，由余弦定理得：AC2＝AF2+FC2﹣2AF×FC×＝52，
设事件A为”此点取自小等边三角形（阴影部分）“，
由几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝＝，
故选：A．

9．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3+a7+a11是一个定值，则下列各数也为定值的是（　　）
A．S7 B．S8 C．S13 D．S15
【解答】解：a3+a7+a11＝3a7是一个定值，
只有：S13＝＝13a7是一个定值，
故选：C．
10．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当0≤x＜2时，f（x）＝x3﹣x，则在区间[0，6]上函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的个数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：因为f（x）是R上偶函数，且满足f（1+x）＝f（1﹣x），
∴满足f（1+x）＝f（1﹣x）＝f（x﹣1），
令x+1＝t，则x＝t﹣1，∴f（t）＝f（t﹣2）；
∴f（x）是最小正周期为2的周期函数，
当0≤x＜2时，f（x）＝x3﹣x＝0解得x＝0或x＝1，
故f（x）＝0在区间[0，6）上解的个数为6，
又因为f（6）＝f（0）＝0，故f（x）＝0在区间[0，6]上解的个数为7，
即函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7．
故选：B．
11．已知点P是双曲线右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：由题意，△PF1F2是直角三角形，PF2的斜率为﹣，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则，
∵m﹣n＝2a，m2+n2＝4c2，
∴m＝2b，n＝2a，
∵mn＝2b2，
∴b＝2a，
∴c＝a，
∴e＝＝．
故选：D．
12．函数若a＞0＞b，且f（a）＝f（b），则f（a+b）的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0] B．[﹣1，+∞） C．[﹣1，0] D．（﹣∞，﹣1]
【解答】解：设f（a）＝f（b）＝t，
作出f（x）的图象，
由图象知，t≥0，
由f（a）＝a2＝t，得a＝，
由f（b）＝﹣2b﹣3＝t，得b＝，
则a+b＝+＝﹣t+﹣
＝﹣（﹣1）2﹣1，
∵t≥0，∴≥0，
则m＝﹣（﹣1）2﹣1≤﹣1，
即m＝a+b≤﹣1，
此时f（a+b）＝f（m）＝﹣2m﹣3≥2﹣3＝﹣1，
即f（a+b）的取值范围是[﹣1，+∞），
故选：B．

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数，则f（f（﹣2））＝　2　．
【解答】解：∵函数，
∴f（﹣2）＝﹣4×（﹣2）+1＝9，
f（f（﹣2））＝f（9）＝log39＝2．
故答案为：2．
14．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次．甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率是　　．
【解答】解：∵甲和乙都不可能是第一名，
∴第一名只可能是丙、丁或戊，
又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响，
∴这三个人获得第一名是等概率事件，
∴丙是第一名的概率是．
故答案为：．
15．若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值　10　．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，
由图可知，当直线过B（4，2）时直线在y轴上的截距最大，z最大，
为z＝2×4+2＝10．
故答案为：10．

16．已知A、B是球O球面上的两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为　144π　．
【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC＝VC﹣AOB＝＝＝36，
故R＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π，
故答案为：144π．

三．解答题（本题共5小题，共70分，请在指定位置写出解答过程）
17．已知函数f（x）＝a（2cos2+sinx）+b．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）当a＞0，且x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝2cos2+sinx+b＝1+cosx+sinx+b＝sin（x+）+b+1．
由2kπ﹣≤x+≤2kπ+（k∈Z）得：2kπ﹣≤x≤2kπ+（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；
（2）因为，f（x）＝a（2cos2+sinx）+b＝a（1+cosx+sinx）+b＝asin（x+）+b+a，
x∈[0，π]⇒x+∈[，]⇒sin（x+）∈[﹣，1]⇒asin（x+）∈[﹣a，a]，
所以，f（x）∈[b，（）a+b]，又f（x）的值域是[3，4]，
所以b＝3，a＝＝．
18．交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示．
（Ⅰ）用分层抽样的方法从交通指数在[4，6），[6，8），[8，10]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；
（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．

【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：
（0.1+0.2）×1×20＝6，（0.25+0.2）××20＝9，（0.1+0.05）×1×20＝3．
所以这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为6个，9个，3个．
拥堵路段共有6+9+3＝18个，按分层抽样从18个路段中选出6个，
每种情况分别为：，，＝1，
即这三个级别路段中分别抽取的个数为2，3，1．
（Ⅱ）记（Ⅰ）中选取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，选取的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，
选取的1个严重拥堵路段为C，则从6个路段选取2个路段的可能情况如下：
（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C），共15种可能，
其中至少有1个轻度拥堵的有：
（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），共9种可能，
所以所选2个路段中至少1个路段轻度拥堵的概率为p＝．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．

【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP＝∠CDP＝90°，
∴AB⊥PA，CD⊥PD，
又AB∥CD，∴AB⊥PD，
∵PA∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD，
∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
解：（2）设PA＝PD＝AB＝DC＝a，取AD中点O，连结PO，
∵PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，平面PAB⊥平面PAD，
∴PO⊥底面ABCD，且AD＝＝，PO＝，
∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，
由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，
∴VP﹣ABCD＝
＝＝＝＝，
解得a＝2，∴PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PO＝，
∴PB＝PC＝＝2，
∴该四棱锥的侧面积：
S侧＝S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC
＝+++
＝
＝6+2．

20．已知函数f（x）＝ex﹣ax2，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝bx+1．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝ex﹣2ax，
由题设得f′（1）＝e﹣2a＝b，f（1）＝e﹣a＝b+1，解得a＝1，b＝e﹣2．
（Ⅱ）由（1）知f（x）＝ex﹣x2，所以f′（x）＝ex﹣2x，f″（x）＝ex﹣2，
所以f′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
所以f′（x）≥f′（ln2）＝2﹣2ln2＞0，
所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）max＝f（1）＝e﹣1．
21．如图，已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）经过点A（2，0），离心率e＝．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）设点B为椭圆与y轴正半轴的交点，点C为线段AB的中点，点P是椭圆Γ上的动点（异于椭圆顶点）且直线PA，PB分别交直线OC于M，N两点，问|OM|•|ON|是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：，解得，
所以椭圆Γ的方程：+y2＝1；
（Ⅱ）由已知，点C的坐标为（1，），得直线OC 的方程为x﹣2y＝0，
设P（x0，y0），M（2y1，y1），N（2y2，y2），
因P，A，M 三点共线，故 整理得y1＝，
因P，B，N 三点共线，故，整理得y2＝，
因点P 在椭圆Γ 上，故x02+4y02＝4，
从而y1y2＝•＝＝，
所以|OM||ON|＝|y1||y2|＝5|y1y2|＝ 为定值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线l：（t为参数，α为l的倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C为：ρ2﹣6ρcosθ+5＝0．
（1）若直线l与曲线C相切，求α的值；
（2）设曲线C上任意一点的直角坐标为（x，y），求x+y的取值范围．
【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x+5＝0
即（x﹣3）2+y2＝4曲线C为圆心为（3，0），半径为2的圆．
直线l的方程为：xsinα﹣ycosα+sinα＝0…
∵直线l与曲线C相切∴
即…
∵α∈[0，π）∴α＝…
（2）设x＝3+2cosθ，y＝2sinθ
则 x+y＝3+2cosθ+2sinθ＝…
∴x+y的取值范围是．…
[选修4-5：不等式选讲]
23．若实数x，y，m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．
（Ⅰ）若2x比1接近3，求x的取值范围；
（Ⅱ）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得|2x﹣3|＜|1﹣3|＝2，
则﹣2＜2x﹣3＜2，∴，
∴x的取值范围为．
（II） 要证比接近0，
只需证，
只需证
只需证（a+mb）2＜（a2+mb2）（m+1），
即证2amb＜（a2+b2）m．
∵a，b∈R，m＞0且a≠b，∴2amb＜（a2+b2）m显然成立，
∴比接近0．