上海市进才中学2020届高三上学期第一次月考数学试题 Word版含解析

上海市进才中学2020届高三数学第一次月考试卷

一、填空题

1.函数（）的最小正周期是，则        .

2.若集合，，则        .

3.方程的解        .

4.已知幂函数存在反函数，若其反函数的图像经过点，则该幂函数的解析式=        .

5.函数的图像向左平移单位后为奇函数，则的最小正值为      .

6.若集合满足，则下列结论：①；②；③；④中一定成立的有       .（填写你认为正确的命题序号）

7.已知偶函数在区间单调递增，若关于的不等式的的取值范围是        .

8.当时，如果关于的不等式恒成立，那么的取值范围是        .

9.若函数，则图像上关于原点对称的点共有     对．

10.已知都是实数，若函数的反函数的定义域是，则的所有取值构成的集合是        .

11.对于实数，定义为不小于实数的最小整数，如，，.若，则方程的根为        .

12.已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是        .
 

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确.考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

13.函数的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数的图像都不能与函数的图像重合，则函数可以是                            （      ）

A．  　  B． 　   C． 　  D．

14.中“”是“其为等腰三角形”的           （      ）

A．充分非必要条件                        B．必要非充分条件 

C．充要条件                              D．既不充分也不必要条件

15.已知实数,对于定义在R上的函数,有下述命题：

①“是奇函数”的充要条件是“函数的图像关于点对称”；

②“是偶函数”的充要条件是“函数的图像关于直线对称”；

③“是的一个周期”的充要条件是“对任意的,都有”；

④ “函数与的图像关于轴对称”的充要条件是“”

其中正确命题的序号是（      ）

A．①②        B．②③         C．①④         D．③④

16.存在函数满足，对任意都有（      ）

A．                    B．

C．                    D． 

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数，其中.

（1）若不等式的解集是，求与的值；

（2）若，求同时满足下列条件的的取值范围.

①对任意的都有恒成立；

②存在实数，使得成立.






 

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数的图像过点，且函数图像又关于原点对称.

（1）求函数的解析式；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.



 

 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角、、所对的边分别是．

（1）若依次成等差数列，且公差为2．求的值；

（2）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值．



 

20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根（）称为的特征根.

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）求的表达式；

（3）把函数，的最大值记作，最小值记作.

令，若恒成立，求的取值范围.

 

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

设为正整数，集合.对于集合中的任意元素和.

记.

（1）当时，若，，求和的值；

（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数.求集合中元素个数的最大值；

（3）给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，.写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由.

上海市进才中学2020届高三数学第一次月考试卷

一、填空题

1.函数（）的最小正周期是，则  2   .

【解析】：

2.若集合，，则.

【解析】：

3.方程的解  2   .

【解析】：

4.已知幂函数存在反函数，若其反函数的图像经过点，则该幂函数的解析式=.

【解析】：

5.函数的图像向左平移单位后为奇函数，则的最小正值为  .

【解析】：

6.若集合满足，则下列结论：①；②；③；④中一定成立的有 ① .（填写你认为正确的命题序号）

【解析】：

7.已知偶函数在区间单调递增，若关于的不等式的的取值范围是.

【解析】：

8.当时，如果关于的不等式恒成立，那么的取值范围是.

【解析】：

或图像法

成立

9.若函数，则图像上关于原点对称的点共有 4对．
 

10.已知都是实数，若函数的反函数的定义域是，则的所有取值构成的集合是.

【解析】： 能取到   或图像法
 

11.对于实数，定义为不小于实数的最小整数，如，，.若，则方程的根为.

【解析】：

12.已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是    .

【解析】： 递减

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确.考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

13.函数的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数的图像都不能与函数的图像重合，则函数可以是                            （  D  ）

A．  　  B． 　   C． 　  D．

【解析】：压缩了

14.中“”是“其为等腰三角形”的           （  D  ）

A．充分非必要条件                        B．必要非充分条件 

C．充要条件                              D．既不充分也不必要条件

【解析】：压缩了

15.已知实数,对于定义在R上的函数,有下述命题：

①“是奇函数”的充要条件是“函数的图像关于点对称”；

②“是偶函数”的充要条件是“函数的图像关于直线对称”；

③“是的一个周期”的充要条件是“对任意的,都有”；

④ “函数与的图像关于轴对称”的充要条件是“”

其中正确命题的序号是（ A ）

A．①②        B．②③         C．①④         D．③④

【解析】：

16.存在函数满足，对任意都有（ D ）

A．                    B．

C．                    D． 

【解析】：

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数，其中.

（1）若不等式的解集是，求与的值；

（2）若，求同时满足下列条件的的取值范围.

①对任意的都有恒成立；

②存在实数，使得成立.
【解析】：（1）；（2）.

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数的图像过点，且函数图像又关于原点对称.

（1）求函数的解析式；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【解析】：（1）依题意，函数的图象过点和.        

所以，故.

（2）不等式可化为.

即对一切的恒成立.

        因为，当且仅当时等号成立，所以.

 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角、、所对的边分别是．

（1）若依次成等差数列，且公差为2．求的值；

（2）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值．

【解析】：（1）成等差，且公差为2，、. 又，，

， 恒等变形得 ，解得或.又，

（2）在中，

，

 ，，.     

的周长

，又，,  

  当即时，取得最大值． 

20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根（）称为的特征根.

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）求的表达式；

（3）把函数，的最大值记作，最小值记作.

令，若恒成立，求的取值范围.

【解析】：（1）时，是奇函数；时，是非奇非偶函数.

证明：当时，，故是奇函数；

当时，举反例说明.

（2），由，所以方程必有两个不等实根.

，，

            .

（3）首先证明函数在上是单调递增函数.

设任意的满足，

，

因为，

所以，故在内单调递增，

可得，，

恒成立恒成立

所以，

【说明】单调性不证明，只是说明单调性不扣分.不说明单调性直接给出结论扣2分.

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

设为正整数，集合.对于集合中的任意元素和.

记.

（1）当时，若，，求和的值；

（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数.求集合中元素个数的最大值；

（3）给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，.写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由.

【解析】：（1），，，；

（2）设，，则，

由题意知，，且为奇数，

所以，中1的个数为1或3，

所以，，

将上述集合中的元素分成如下四组：

；；；，

经验证，对于每组中两个元素，均有，所以每组中的两个元素不可能同时是集合是集合的元素，所以集合中元素的个数不超过4，

又集合满足条件，所以集合中元素个数的最大值为4.

（3）设，

，则，

对于中的不同元素，经验证，，

所以，中的两个元素不可能同时是集合的元素，

所以，中元素的个数不超过，

取且（）.

令，则集合的元素个数为，且满足条件.

故是一个满足条件且元素个数最多的集合.