2021年高考数学复习之挑战压轴题（选择题）：函数与导数综合题（含解析）

这是一份2021年高考数学复习之挑战压轴题（选择题）：函数与导数综合题（含解析），共37页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2021年高考数学复习之挑战压轴题（选择题）：函数与导数综合题（20题）
一、选择题（共20小题）
1．（2019•佛山模拟）函数f（x）＝ex﹣e1﹣x﹣b|2x﹣1|在（0，1）内有两个零点，则实数b的取值范围是（　　）
A． B．（1﹣e，0）∪（0，e﹣1）
C． D．
2．（2020•天津二模）已知函数f（x）＝函数g（x）＝kx．若关于x的方程f（x）﹣g（x）＝0有3个互异的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2020•合肥一模）已知函数，则函数F（x）＝f（f（x））﹣ef（x）的零点个数为（　　）（e是自然对数的底数）．
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（2019•郴州一模）若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣，4） B．（0，4）
C．（﹣，0） D．（﹣，0）∪（0，4）
5．（2019•浙江）设a，b∈R，函数f（x）＝若函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点，则（　　）
A．a＜﹣1，b＜0 B．a＜﹣1，b＞0 C．a＞﹣1，b＜0 D．a＞﹣1，b＞0
6．（2020•全国模拟）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈（0，2]时，．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2019•新课标Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：+＝（R+r）．
设α＝．由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为（　　）
A．R B．R C．R D．R
8．（2020•北碚区模拟）设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2018，则不等式exf（x）＞ex+2017（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）
A．（﹣∞，0）∪（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2017，+∞）
C．（2017，+∞） D．（0，+∞）
9．（2020•银川模拟）已知函数f（x）＝x3﹣2x+1+ex﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤2，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2020•淇滨区校级模拟）设定义在R上的函数y＝f（x）满足∀t∈R都有，且x∈（0，4]时，，则6f（2017）、3f（2018）、2f（2019）的大小关系是（　　）
A．6f（2017）＜3f（2018）＜2f（2019）
B．3f（2018）＜6f（2017）＜2f（2019）
C．2f（2019）＜3f（2018）＜6f（2017）
D．2f（2019）＜6f（2017）＜3f（2018）
11．（2019•咸阳一模）已知奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，若a＝f（），b＝﹣ef（﹣e），c＝f（1），则a，b，c的大小关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
12．（2020•北辰区模拟）已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sinx（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝f（logπ3），b＝f（log9），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
13．（2020•太原一模）设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，当x＞0时，xlnx•f′（x）＜﹣f（x），则使得（x2﹣4）f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣2，0）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
14．（2020•兴庆区校级一模）奇函数f（x）在R上存在导数f'（x），当x＜0时，f'（x）＜﹣f（x），则使得（x2﹣1）f（x）＜0成立的x的取值范围为（　　）
A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
15．（2020•湘潭三模）已知对任意实数x都有f'（x）＝3ex+f（x），f（0）＝﹣1，若不等式f（x）＜a（x﹣2）（其中a＜1）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
16．（2021•九模拟）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x，a＞0，若函数f（x）没有零点，则a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．[0，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
17．（2020•黑龙江二模）已知不等式对x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的最小值为（　　）
A． B． C．﹣e D．﹣2e
18．（2020•武汉模拟）已知关于x的不等式﹣x﹣alnx≥1对于任意x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1﹣e] B．（﹣∞，﹣3] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，2﹣e2]
19．（2021•南通模拟）已知函数f（x）＝x2•e﹣x，g（x）＝﹣x3+2x2﹣3x+c．若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[1，3]，使f（x1）＝g（x2）成立，则c的取值范围是（　　）
A．＜c＜ B．≤c≤ C．c≤ D．c≥
20．（2021•湖北模拟）已知函数f（x）＝+lnx﹣x，若x∈[1，+∞）时，f（x）≥﹣2恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．

2021年高考数学复习之挑战压轴题（选择题）：函数与导数综合题（20题）
参考答案与试题解析
一、选择题（共20小题）
1．（2019•佛山模拟）函数f（x）＝ex﹣e1﹣x﹣b|2x﹣1|在（0，1）内有两个零点，则实数b的取值范围是（　　）
A． B．（1﹣e，0）∪（0，e﹣1）
C． D．
【考点】函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】数形结合；分类讨论；转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学建模；数学运算．
【答案】D
【分析】利用换元法设t＝x﹣，则函数等价为y＝﹣﹣2b|t|，条件转化为﹣＝2b|t|，研究函数的 单调性结合绝对值的应用，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：f（x）＝ex﹣e1﹣x﹣2b|x﹣|，
设t＝x﹣，则x＝t+，
∵0＜x＜1，∴﹣＜t＜，
则函数f（x）等价为y＝﹣﹣2b|t|，
即等价为y＝﹣﹣2b|t|在﹣＜t＜上有两个零点，
即﹣＝2b|t|有两个根，
设h（t）＝﹣，
则h（﹣t）＝﹣＝﹣（﹣）＝﹣h（t），即函数h（t）是奇函数，
则h′（t）＝+＞0，即函数h（t）在﹣≤t≤上是增函数，
h（0）＝0，h（）＝e﹣1，h（﹣）＝1﹣e，
当0≤t≤，
若b＝0，则函数f（x）只有一个零点，不满足条件．
若b＞0，则g（t）＝2bx，
设过原点的直线g（t）与h（t）相切，切点为（a，﹣），
h′（t）＝+，即h′（a）＝+，
则切线方程为y﹣（﹣）＝（+）（x﹣a），
切线过原点，
则﹣（﹣）＝﹣a（+），
即﹣+＝﹣a﹣a，
则（a+1）＝（﹣a+1），
得a＝0，即切点为（0，0），此时切线斜率k＝h′（0）＝＝2
若2＝2b，则b＝＝，此时切线y＝2x与h（t）相切，只有一个交点，不满足条件．
当直线过点（，e﹣1）时，e﹣1＝2b×＝b，
此时直线g（t）＝2（e﹣1）x，
要使g（t）与h（t）有两个交点，则＜b＜e﹣1，
当b＜0时，t＜0时，g（t）＝﹣2bx，
由﹣2b＝2
得b＝﹣，当直线过点（﹣，1﹣e）时，1﹣e＝﹣2b（﹣）＝b，
要使g（t）与h（t）有两个交点，则1﹣e＜b＜﹣，
综上1﹣e＜b＜﹣或＜b＜e﹣1，
即实数b的取值范围是，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象问题是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
2．（2020•天津二模）已知函数f（x）＝函数g（x）＝kx．若关于x的方程f（x）﹣g（x）＝0有3个互异的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出函数g（x）和f（x）的图象如图：

由图可知，当k≤0时，不满足题意，则k＞0；
当直线y＝kx经过点B时，k＝＝，此时y＝x与函数f（x）图象有3个交点，满足；
当y＝kx为y＝lnx的切线时，设切点（x0，lnx0），
则k＝，故有lnx0＝•x0＝1，解得x0＝e，即有切点为A（e，1），
此时g（x）＝x与f（x）有3个交点，满足题意；
综上：当k∈[，]，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断和应用，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．
3．（2020•合肥一模）已知函数，则函数F（x）＝f（f（x））﹣ef（x）的零点个数为（　　）（e是自然对数的底数）．
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】数形结合；分类讨论；数形结合法；换元法；构造法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑推理；数据分析．
【答案】B
【分析】注意到当x≤0时，函数值恒小于0，当x＞0时，函数值恒大于等于0，进而考虑换元后，通过分类讨论结合数形结合思想得解．
【解答】解：不妨设，，
易知，f1（x）＜0在（﹣∞，0]上恒成立，且在（﹣∞，0]单调递增；
，设，由当x→0+时，g（x）→﹣∞，g（1）＝e﹣1＞0，且函数g（x）在（0，+∞）上单增，
故函数g（x）存在唯一零点x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，即，则，
故当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f2'（x）＜0，f2（x）单减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f2'（x）＞0，f2（x）单增，
故＝0，故f2（x）≥0；
令t＝f（x），F（t）＝f（t）﹣et＝0，
当t≤0时，﹣e﹣t﹣et＝0，解得t＝﹣1，此时易知f（x）＝t＝﹣1有一个解；
当t＞0时，tet﹣t﹣1﹣lnt﹣et＝0，即tet﹣t﹣1﹣lnt＝et，作函数f2（t）与函数y＝et如下图所示，
由图可知，函数f2（t）与函数y＝et有两个交点，设这两个交点为t1，t2，且t1＞0，t2＞0，
而由图观察易知，f（x）＝t1，f（x）＝t2均有两个交点，故此时共有四个解；
综上，函数F（x）＝f（f（x））﹣ef（x）的零点个数为5．
故选：B．
【点评】本题考查函数与方程，考查分段函数零点个数的判定，考查利用导数研究函数的零点问题，考查转化思想，换元思想，数形结合思想，分类讨论思想以及数据分析能力，运算求解能力，逻辑推理能力等综合数学素养，属于较难题目．
4．（2019•郴州一模）若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣，4） B．（0，4）
C．（﹣，0） D．（﹣，0）∪（0，4）
【考点】函数与方程的综合运用．菁优网版权所有
【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；转化法；函数的性质及应用；数学建模；数学运算．
【答案】D
【分析】根据分段函数的表达式，先得到x＝0是f（x）与y＝ax的一个根，利用参数分离法构造函数h（x），得到h（x）与y＝a有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，
得a＝2xlnx，
当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，
此时x＝0是方程的一个根，
当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，
设h（x）＝，
当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2
＝2（1+lnx），
由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，
得x＞此时函数为增函数，
由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，
得0＜x＜，此时函数为减函数，
即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，
当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，
作出h（x）的图象如图：
要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，
则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，
即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），
故选：D．

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据参数分离法，结合函数的导数，研究函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
5．（2019•浙江）设a，b∈R，函数f（x）＝若函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点，则（　　）
A．a＜﹣1，b＜0 B．a＜﹣1，b＞0 C．a＞﹣1，b＜0 D．a＞﹣1，b＞0
【考点】函数与方程的综合运用．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；分类讨论；函数思想；方程思想；数形结合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【答案】C
【分析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x3﹣（a+1）x2+ax﹣ax﹣b＝x3﹣（a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【解答】解：当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x＝；y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x3﹣（a+1）x2+ax﹣ax﹣b＝x3﹣（a+1）x2﹣b，
y′＝x2﹣（a+1）x，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上递增，y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点．不合题意；
当a+1＞0，即a＞﹣1时，令y′＞0得x∈[a+1，+∞），函数递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如右图：
∴＜0且，
解得b＜0，1﹣a＞0，b＞﹣（a+1）3．
∴﹣（a+1）3＜b＜0，﹣1＜a＜1
故选：C．

【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．
6．（2020•全国模拟）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈（0，2]时，．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数与方程的综合运用．菁优网版权所有
【专题】数形结合；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【答案】D
【分析】先利用函数f（x）的单调性，求出其在x∈（0，2]时的最值，然后根据递推关系可知，
当图象向右平移2个单位时，最小值变为原来的2倍，即可分析出何时f（x）min≥．
【解答】解：当x∈（0，2]时，函数f（x）在（0，1）上递减，在（1，2]上递增，所以fmin＝f（1）＝﹣．
因为f（x+2）＝2f（x），当图象向右平移2个单位时，最小值变为原来的2倍，最小值不断变小，
当图象向左平移2个单位时，最小值变为原来的，最小值不断变大．
当x∈（2，4]时，fmin＝f（3）＝﹣；
当x∈（4，6]时，fmin＝f（5）＝﹣1；
所以要对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），
∵x∈（4，5）时，函数f（x）递减，x∈（5，6]时，函数f（x）递增，
所以当m最大时，m∈（4，5），且f（x）min＝f（m）＝2f（m﹣2）＝4f（m﹣4）＝4[m﹣4+﹣]，解得m，
故m的取值范围是（﹣∞，]．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数最值的求法以及函数递推式的应用，属于难题．
7．（2019•新课标Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：+＝（R+r）．
设α＝．由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为（　　）
A．R B．R C．R D．R
【考点】根据实际问题选择函数类型．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】D
【分析】由α＝．推导出＝≈3α3，由此能求出r＝αR＝．
【解答】解：∵α＝．∴r＝αR，
r满足方程：+＝（R+r）．
∴＝≈3α3，
∴r＝αR＝．
故选：D．
【点评】本题考查点到月球的距离的求法，考查函数在我国航天事业中的灵活运用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题．
8．（2020•北碚区模拟）设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2018，则不等式exf（x）＞ex+2017（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）
A．（﹣∞，0）∪（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2017，+∞）
C．（2017，+∞） D．（0，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】计算题；导数的综合应用；数学运算．
【答案】D
【分析】构造函数g（x）＝exf（x）﹣ex，通过求导及已知不等式可得出g（x）为递增函数，再将原不等式化为g（x）＞g（0）可解得．
【解答】解：令g（x）＝exf（x）﹣ex，则g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex＝ex（f（x）+f′（x）﹣1），
∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，
∴g′（x）＞0，g（x）在R上为单调递增函数，
∵g（0）＝f（0）﹣1＝2018﹣1＝2017
∴原不等式可化为g（x）＞g（0），
根据g（x）的单调性得x＞0
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属难题．
9．（2020•银川模拟）已知函数f（x）＝x3﹣2x+1+ex﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤2，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
【答案】C
【分析】令g（x）＝f（x）﹣1＝x3﹣2x+ex﹣，x∈R．判断其奇偶性单调性即可得出．
【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣1＝x3﹣2x+ex﹣，x∈R．
则g（﹣x）＝﹣g（x），∴g（x）在R上为奇函数．
g′（x）＝3x2﹣2+ex+≥0+2﹣2＝0，
∴函数g（x）在R上单调递增．
f（a﹣1）+f（2a2）≤2，化为：f（a﹣1）﹣1+f（2a2）﹣1≤0，
即g（a﹣1）+g（2a2）≤0，化为：g（2a2）≤﹣g（a﹣1）＝g（1﹣a），
∴2a2≤1﹣a，
即2a2+a﹣1≤0，
解得﹣1≤a≤．
∴实数a的取值范围是．
故选：C．
【点评】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
10．（2020•淇滨区校级模拟）设定义在R上的函数y＝f（x）满足∀t∈R都有，且x∈（0，4]时，，则6f（2017）、3f（2018）、2f（2019）的大小关系是（　　）
A．6f（2017）＜3f（2018）＜2f（2019）
B．3f（2018）＜6f（2017）＜2f（2019）
C．2f（2019）＜3f（2018）＜6f（2017）
D．2f（2019）＜6f（2017）＜3f（2018）
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】构造法；导数的综合应用；不等式的解法及应用；逻辑推理．
【答案】A
【分析】定义在R上的函数y＝f（x）满足∀t∈R都有，可得f（t+4）＝f（t），函数f（t）是周期为4的函数．可得6f（2017）＝6f（1），3f（2018）＝3f（2），2f（2019）＝2f（3）．令函数g（x）＝，利用导数研究其单调性可得函数g（x）在x∈（0，4]时单调性质．即可得出大小关系．
【解答】解：定义在R上的函数y＝f（x）满足∀t∈R都有，∴f（t+4）＝＝f（t），∴函数f（t）是周期为4的函数．
令函数g（x）＝，g′（x）＝，
∵x∈（0，4]时，，
∴g′（x）＞0，
∴函数g（x）在x∈（0，4]时单调递增．
又6f（2017）＝6f（1），3f（2018）＝3f（2），2f（2019）＝2f（3）．
∵g（1）＜g（2）＜g（3），
∴＜＜，
∴6f（1）＜3f（2）＜2f（3）．
即6f（2017）＜3f（2018）＜2f（2019）．
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法、函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
11．（2019•咸阳一模）已知奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，若a＝f（），b＝﹣ef（﹣e），c＝f（1），则a，b，c的大小关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
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【专题】计算题；导数的综合应用；数学建模．
【答案】C
【分析】构造函数g（x）＝xf（x），求导得，g（x）为增函数，利用单调性和奇偶性可比较出大小．
【解答】解：令g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞），则g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）为（0，+∞）上的递增函数，
因为e＞1＞，∴g（e）＞g（1）＞g（），
∴ef（e）＞f（1）＞f（），
又f（x）为奇函数，所以﹣ef（﹣e）＝ef（e），
∴b＞c＞a，
故选：C．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属难题．
12．（2020•北辰区模拟）已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sinx（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝f（logπ3），b＝f（log9），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
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【专题】转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
【答案】D
【分析】函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，可得函数f（x）为（﹣π，π）0上的偶函数．当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sinx（其中f′（x）是f（x）的导函数），f′（x）＝﹣f′（）cosx，令x＝，可得f′（）＝2，于是f′（x）＝﹣2cosx，可得：x∈（0，π）时，f′（x）＞0．利用其单调性奇偶性即可得出大小关系．
【解答】解：函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，
∴函数f（x）为R上的偶函数．
当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sinx（其中f′（x）是f（x）的导函数），
f′（x）＝﹣f′（）cosx，
令x＝，则f′（）＝2，
∴f′（x）＝﹣2cosx，
当x∈时，≥2，2cosx≤2．∴f′（x）＝﹣2cosx＞0．
当x∈时，＞0，2cosx≤0．∴f′（x）＝﹣2cosx＞0．
∴x∈（0，π）时，f′（x）＝﹣2cosx＞0．
∴函数f（x）在x∈（0，π）时单调递增．
∵a＝f（logπ3），b＝f（log9）＝f（﹣2）＝f（2），c＝f（），
∵0＜logπ3＜1＜＜2，
∴a＜c＜b．
即b＞c＞a．
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的奇偶性、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
13．（2020•太原一模）设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，当x＞0时，xlnx•f′（x）＜﹣f（x），则使得（x2﹣4）f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣2，0）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
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【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．
【答案】D
【分析】根据题意，设g（x）＝lnx•f（x），（x＞0），对g（x）求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得g（x）在（0，+∞）上为减函数，分析g（x）的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间（0，1）和（1，+∞）上，都有f（x）＜0，结合函数的奇偶性可得在区间（﹣1，0）和（﹣∞，﹣1）上，都有f（x）＞0，进而将不等式变形转化，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设g（x）＝lnx•f（x），（x＞0），
其导数g′（x）＝（lnx）′f（x）+lnxf′（x）＝f（x）+lnxf′（x），
又由当x＞0时，xlnx•f′（x）＜﹣f（x），即lnx•f′（x）＜﹣f（x），
则有g′（x）＝f（x）+lnxf′（x）＜0，
即函数g（x）在（0，+∞）上为减函数，又由g（1）＝ln1•f（x）＝0，
则在区间（0，1）上，g（x）＝lnx•f（x）＞0，又由lnx＜0，则f（x）＜0，
在区间（1，+∞）上，g（x）＝lnx•f（x）＜0，又由lnx＞0，则f（x）＜0，
则f（x）在（0，1）和（1，+∞）上，f（x）＜0，
而x＝1时，g（1）＝ln1•f（x）＝0，故f（x）也可小于0，
又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣1，0）和（﹣∞，﹣1）上，都有f（x）＞0，
（x2﹣4）f（x）＞0⇒或，
解可得：x＜﹣2或0＜x＜2，
则x的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（0，2）；
故选：D．
【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析f（x）＞0与f（x）＜0的解集．
14．（2020•兴庆区校级一模）奇函数f（x）在R上存在导数f'（x），当x＜0时，f'（x）＜﹣f（x），则使得（x2﹣1）f（x）＜0成立的x的取值范围为（　　）
A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
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【专题】转化思想；构造法；导数的综合应用；数学建模．
【答案】C
【分析】构造一个新函数g（x）＝x2f（x），由“当x＜0时，f'（x）＜﹣f（x），”可以判断出g（x）的单调性，再利用奇偶性判断正负，即可得出f（x）的正负情况，即可求解；
【解答】解：令g（x）＝x2f（x），由于f（x）为奇函数，则g（x）也为奇函数；
∴g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）；
∵当x＜0时，f'（x）＜﹣f（x），
∴x2f′（x）＜﹣2xf（x），即x2f′（x）+2xf（x）＜0；
∴当x＜0时，g′（x）＜0；
∴g（x）在（﹣∞，0）内单调递减；
∵g（x）在R内为奇函数；
∴g（x）在R内单调递减，且g（0）＝0；
∴当x＜0时，g（x）＝x2f（x）＞0，即f（x）＞0；
当x＝0时，f（x）在R内为奇函数，故f（0）＝0；
当x＞0时，g（x）＝x2f（x）＜0，即f（x）＜0；
∵（x2﹣1）f（x）＜0；
∴①当x＜0时，f（x）＞0，即x2﹣1＜0；则解集为：{x|﹣1＜x＜0}；
②当x＝0时，f（0）＝0，即（x2﹣1）f（x）＜0解集为空集；
③当x＞0时，f（x）＜0，即x2﹣1＞0；则解集为：{x|x＞1}；
综上所述：x的取值范围为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查了利用导数求函数的单调性，考查学生的观察能力，分析能力与计算能力；属于难题；
15．（2020•湘潭三模）已知对任意实数x都有f'（x）＝3ex+f（x），f（0）＝﹣1，若不等式f（x）＜a（x﹣2）（其中a＜1）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
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【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】C
【分析】令g（x）＝，设再g（x）＝3x+b，由g（0）可求b，进而可求g（x），f（x），分析f（x）图象特点，得不等式f（x）＜a（x﹣2）的解集中恰有两个整数，进而得出结论．
【解答】解：∵对任意实数x都有f'（x）＝3ex+f（x），f（0）＝﹣1，
∴f′（x）﹣f（x）＝3ex，即＝3，
令g（x）＝，则g′（x）＝3，
设g（x）＝3x+b，
∴g（0）＝f（0）＝b，
∴b＝﹣1，g（x）＝3x﹣1，
∴f（x）＝ex（3x﹣1），
∴f′（x）＝（3x+2）ex，
∴当x＞﹣时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜﹣时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∵f（﹣）＝﹣3e＜0，f（﹣1）＝﹣4e﹣1，f（0）＝﹣1，f（1）＝2e，
令h（x）＝a（x﹣2），（a＜1），
h（﹣1）＝﹣3a，h（0）＝﹣2a，h（﹣2）＝﹣3a，
∴不等式f（x）＜a（x﹣1），（其中a＜1）的解集中恰有两个整数，是0，﹣1，
所以，，
解可得，．
故选：C．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、数形结合方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
16．（2021•九模拟）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x，a＞0，若函数f（x）没有零点，则a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．[0，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，根据a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，结合函数的零点个数，求出a的范围即可．
【解答】解：f（x）的定义域是R，
f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1＝（2ex+1）（aex﹣1）．
a＞0时，f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1＝（2ex+1）（aex﹣1）．
令f′（x）＝0，∴ex＝，解得x＝﹣lna．
∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递减，
x∈（﹣lna，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（﹣lna，+∞）上单调递增，
∴x＝﹣lna时，函数f（x）取得最小值；最小值是f（﹣lna）＝1﹣+lna，
①当a＝1时，由于f（﹣lna）＝0，故函数f（x）只有1个零点，
②当a∈（1，+∞）时，由于1﹣+lna＞0，即f（﹣lna）＞0，故函数f（x）没有零点，
③当a∈（0，1）时，1﹣+lna＜0，即f（﹣lna）＜0，
又f（﹣2）＝ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，
故函数f（x）在（﹣∞，﹣lna）上有1个零点，
设正整数n0满足n0＞ln（﹣1），
则f（n0）＝•（a+a﹣2）﹣n0＞﹣n0＞﹣n0＞0，
由于ln（﹣1）＞﹣lna，故函数f（x）在（﹣lna，+∞）上有1个零点，
综上，a的取值范围是（1，+∞），
故选：C．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点、方程与不等式的解法、考查了推理能力与计算能力，属于难题．
17．（2020•黑龙江二模）已知不等式对x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的最小值为（　　）
A． B． C．﹣e D．﹣2e
【考点】利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；分析法；导数的综合应用；逻辑推理．
【答案】C
【分析】将原不等式化为 e﹣x﹣lne﹣x≥xa﹣lnxa 在（1，+∞）上恒成立，设函数 f（x）＝x﹣lnx，即 f（e﹣x）≥f（xa） 在（1，+∞）上恒成立，讨论函数f（x）的单调性．
【解答】解：不等式在（1，+∞）上恒成立，
即 在（1，+∞）上恒成立，
即 e﹣x﹣lne﹣x≥xa﹣lnxa 在（1，+∞）上恒成立．
设函数 f（x）＝x﹣lnx，则，
所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
即 f（e﹣x）≥f（xa） 在（1，+∞）上恒成立．
∵x∈（1，+∞）时，，
根据选项，只需讨论a＜0的情况，
当a＜0 时，函数y＝xa 在（1，+∞）上单调递减，则 xa∈（0，1）；
则 e﹣x≤xa，两边取e为底的对数，得﹣x≤alnx （x＞1），即 （x＞1），
设函数 ，则 ，
所以h（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
则 h（x）最大值＝h（e）＝﹣e，即 a≥﹣e．
故选：C．
【点评】本题考查不等式恒成立求参数问题，利用导数讨论函数的单调性，构造函数的构造思想，对数的等价变形等，属于难题．
18．（2020•武汉模拟）已知关于x的不等式﹣x﹣alnx≥1对于任意x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1﹣e] B．（﹣∞，﹣3] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，2﹣e2]
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【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】B
【分析】分离参数，构造函数，对x﹣3ex＝ex﹣3lnx变形以及ex﹣1≥x，即可求得a的取值范围．
【解答】解：由题意可知，分离参数，令，
由题意可知，a≤f（x）min，由，
又ex﹣1≥x，
所以≥＝﹣3，
所以a≤﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查利用导数的综合应用，考查分离参数方法的应用，考查ex﹣1≥x恒等式的应用，在选择及填空题可以直接应用，在解答题中，需要构造函数证明，然后再利用，考查转化思想，属于中档题．
19．（2021•南通模拟）已知函数f（x）＝x2•e﹣x，g（x）＝﹣x3+2x2﹣3x+c．若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[1，3]，使f（x1）＝g（x2）成立，则c的取值范围是（　　）
A．＜c＜ B．≤c≤ C．c≤ D．c≥
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【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．
【答案】B
【分析】分别求出f（x），g（x）的导数，求出函数的值域，结合集合的包含关系得到关于c的不等式组，解出即可．
【解答】解：f（x）＝x2•e﹣x，x∈（0，+∞），
f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝2，
故f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
故f（x）max＝f（2）＝，
而x→0时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→+∞，
故f（x）∈（0，]，
g（x）＝﹣x3+2x2﹣3x+c，
g′（x）＝﹣（x﹣3）（x﹣1），
令g′（x）＞0，解得：1＜x＜3，
故g（x）在[1，3]递增，
而g（x）min＝g（1）＝﹣+c，
g（x）max＝g（3）＝c，
故g（x）∈[﹣+c，c]，
若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[1，3]，使f（x1）＝g（x2）成立，
则（0，]⊆[﹣+c，c]，
故，解得：≤c≤，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．
20．（2021•湖北模拟）已知函数f（x）＝+lnx﹣x，若x∈[1，+∞）时，f（x）≥﹣2恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
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【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】B
【分析】令g（x）＝+lnx﹣x+2，可得g（x）≥0恒成立，求出g（x）的导函数，对a分类讨论，利用导数求得g（x）的最小值大于等于零，即可求得a的取值范围．
【解答】解：令g（x）＝+lnx﹣x+2，x∈[1，+∞），则g（x）≥0恒成立，
g′（x）＝+﹣1＝，
令h（x）＝aex﹣x，
若a≤0，在x∈[1，+∞）时，h（x）＝aex﹣x＜0，则g′（x）≤0，
此时函数g（x）单调递减，则g（x）≤g（1）＝ae+1，不符合题意；
若a＞0，h′（x）＝aex﹣1，令h′（x）＝0，解得x＝ln，
①当ln≤1，即a≥时，在x∈[1，+∞）时，h′（x）≥0，
h（x）单调递增，即h（x）≥h（1）＝ae﹣1≥0，则g′（x）≥0，
即g（x）在x∈[1，+∞）单调递增，则g（x）≥g（1）＝ae+1≥2＞0恒成立，符合题意；
②当ln＞1，即0＜a＜时，在x∈[1，lnln）时，h（x）单调递减，在（ln，+∞），h（x）单调递增，
h（1）＝ae﹣1＜0，则x∈[1，lnln）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，
令h（x）＝aex﹣x＝0，得a＝，
函数y＝中，y′＝，y＝在（1，+∞）上单调递减，则y＝的值域为（0，），
因为0＜a＜，所以h（x）＝aex﹣x＝0存在解x0，即a＝x0，lna＝lnx0﹣x0，
故x∈[1，x0）时，g′（x）＜0，x∈[x0，+∞）时，g′（x）≥0，即g（x）min＝g（x0），
只需g（x0）≥0即可，则g（x0）＝﹣lnx0﹣x0+2＝1﹣lnx0﹣x0+2＝lna+3≥0，
解得a≥，故≤a＜符合题意．
综上，当a≥时，不等式f（x）≥﹣2恒成立．
故选：B．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数解不等式恒成立问题，考查分类讨论与转化思想，及运算求解能力，属于难题．

考点卡片
1．函数零点的判定定理
【知识点的知识】
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．

2、函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．

（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．
2．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
3．函数与方程的综合运用
【知识点的知识】
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．
4．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．

【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（　　）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．y＝x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．

典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．

【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
5．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
6．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/3/30 14:36:05；用户：██；邮箱：841911643@qq.com；学号：1