高考数学真题专项练习 专题11 三角函数定义与三角函数恒等变换（解析版）

专题11 三角函数定义与三角函数恒等变换

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考点36 三角函数定义

1．（2018•新课标Ⅰ，文11）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则　　

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，，解得，，，，故选．

2．（2014新课标I，文2）若，则

1.         B．         C．         D．

【答案】A

【解析】由知，在第一、第三象限，即（），∴，即在第一、第二象限，故只有，故选A．

3．（2011全国课标理5文7）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=

（A）    (B)   (C)   (D)

【答案】B

【解析】在直线取一点P（1，2），则=，则==，

∴==，故选B．

4．（2018浙江）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．

(1)求的值；

(2)若角满足，求的值．

【解析】(1)由角的终边过点得，

所以．

(2)由角的终边过点得，

由得．

由得，

所以或．

考点37同角三角函数基本关系与诱导公式

1．（2019•新课标Ⅱ，文11）已知，，则　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，可得：，，，，，，解得：，故选．

2．（2016新课标卷3，理5）若 ，则

(A)            (B)            (C)  1            (D)

【答案】A

【解析】由，得或，所以

，故选A．

3．（2016全国课标卷3，文6）若 ，则（      ）

（A）    （B）      （C）     （D）

【答案】D

4．（2013浙江）已知，则（ ）

A．             B．            C．            D．

【答案】C

【解析】由可得，进一步整理可得，解得或，于是，故选C．

5．(2012江西)若，则tan2α=（  ）

A．−        B．        C．−        D．

【答案】B

【解析】分子分母同除得：∴，

∴

6．（2013广东）已知，那么

A．     B．       C．      D．

【答案】C

【解析】，选C．

7．（2016•新课标Ⅰ，文14）已知是第四象限角，且，则　　．

【答案】

【解析】是第四象限角，，则，

又，，∴= =， ，则= = = =．

8．（2013新课标Ⅱ，理15）若为第二象限角，，则     ．

【答案】

【解析】（法1）由得，=，即，∵， 为第二象限角，∴=，=，∴．

9．(2014江苏)已知，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【解析】（1）∵，∴

 ；

（2）∵

 ∴．

考点38三角恒等变换

1．（2020全国Ⅰ理9）已知，且，则 （   ）

A．                B．                C．                D．

【答案】A

【思路导引】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论．

【解析】，得，即，解得或（舍去），又，故选A．

2．（2020全国Ⅱ理2）若为第四象限角，则 （   ）

A．      B．        C．            D．

【答案】D

【思路导引】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可．

【解析】当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确，故选D．

3．（2020全国Ⅲ文5）已知，则 （   ）

A．                   B．                C．                 D．

【答案】B

【思路导引】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值．

【解析】由题意可得：，则：，，从而有：，即．故选B．

4．（2020全国Ⅲ理9）已知，则 （   ）

A．               B．            C．         D．

【答案】D

【思路导引】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．

【解析】，，令，则，整理得，解得，即．故选D．

5．（2019•新课标Ⅱ，理10）已知，，则　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，，，，，，，故选．

6．（2019•新课标Ⅲ，文5）函数在，的零点个数为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】函数在，的零点个数，即：在区间，的根个数，即，即，即或，∵，，∴，故选．

7．（2019•新课标Ⅰ，文7）　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵

，故选．

8．（2018•新课标Ⅲ，理4文4）若，则　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，故选．

9．（2017新课标卷3，文4）已知，则=

A．     B．    C．     D．

【答案】A

【解析】因为 ，故选A．

10．（2016•新课标Ⅱ，理9）若，则　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】法，

，

法，，，

故选．

11．（2015新课标Ⅰ，理2）sin20°cos10°-con160°sin10°=

A．        B．       C．       D．

【答案】D

【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=，故选D．

12．（2014新课标Ⅰ，理8）设，，且，则

．    ．   ．    ．

【答案】B

【解析】∵，∴

，

∴，即，选B

13．（2013新课标Ⅱ，文6）已知，则（     ）

（A）             （B）           （C）            （D）

【答案】A

【解析】因为，所以==，故选A．，

14．（2015重庆）若，则＝（  ）

A．1         B．2             C．3           D．4

【答案】C

【解析】

＝，选C．

15．（2012山东）若，，则（  ）

A．        B．          C．         D．

【答案】D

【解析】由可得，，

，故选D．

16．（2011浙江）若，，，，则

 A．     B．     C．    D．

【答案】C

【解析】

，而，，

因此，，

则．

17．（2020全国Ⅱ文13）设，则                   ．

【答案】

【思路导引】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可．

【解析】．故答案为：．

18．（2020江苏8）已知，则的值是________．

【答案】

【解析】∵，由，解得．

19．（2020浙江13）已知，则              ；              ．

【答案】；

【思路导引】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根据两角差正切公式得

【解析】，，故答案为：； ．

20．（2020北京14）若函数的最大值为，则常数的一个取值为         ．

【答案】

【解析】∵

，

则，，∴，∴．

21．（2018•新课标Ⅱ，理15）已知，，则　　．

【答案】

【解析】，两边平方可得：，①，

，两边平方可得：，②，由①②得：，即，，．

22．（2018•新课标Ⅱ，文15）已知，则　　．

【答案】

【解析】，，则．

23．（2017新课标卷，文14）已知，tan α=2，则=__________．

【答案】

【解析】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．

24．（2019北京9）函数的最小正周期是 ________．

【答案】

【解析】因为，所以的最小正周期．

25．（2019江苏13）已知，则的值是_________．

 【答案】

【解析】由，得，

所以，解得或．
当时，，，
．
当时，，，
所以．

综上，的值是．

26．（2017北京）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则=___________．

【答案】

【解析】∵角与角的终边关于轴对称，所以，所以，；

．

27．（2017江苏）若，则=          ．

【答案】

【解析】．

28．（2015四川）        ．

【答案】

【解析】．

29．（2015江苏）已知，，则的值为_______．

【答案】3

【解析】．

30．（2013四川）设，，则的值是_____．

【答案】

【解析】 ，则，又，

则，．

31．（2012江苏）设为锐角，若，则的值为    ．

【答案】

【解析】 因为为锐角，cos(=，∴sin(=，∴sin2(cos2(，所以sin(．

32．（2018江苏）已知为锐角，，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【解析】(1)因为，，所以．

因为，所以，

因此，．

(2)因为为锐角，所以．

又因为，所以，

因此．

因为，所以，

因此，．

33．（2014江西）已知函数为奇函数，且，其中．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【解析】（1）因为是奇函数，而为偶函数，所以为奇函数，又得．

所以=由，得，即

（2）由（1）得：因为，得

又，所以

因此

34．（2013广东）已知函数．

(1) 求的值；

(2) 若，求．

【解析】（1）

（2）<θ<2π，所以，

因此