试卷 2021年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷（三）

这是一份试卷 2021年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷（三），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）实数﹣2的负倒数是（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≥﹣1C．x≥1D．x≤﹣1
3．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．从装有2个红球、2个黄球的袋中摸出3个球，至少有一个红球
B．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
C．任意画一个三角形，其内角和是360°
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
4．（3分）下列医护图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）在反比例函数y＝图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m＜C．m≥D．m≤
8．（3分）如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车共行驶了120千米；
②汽车在行驶途中停留了0.5小时；
③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/时；
④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少．
其中正确的说法共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆半径为（ ）
A．7B．7C．D．
10．（3分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…第n个三角形数记为an，计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，此推算，a100﹣a99＝（ ）
A．99B．1C．101D．100
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）一个射手连续射靶22次，其中3次射中10环，7次射中9环，9次射中8环，3次射中7环．则射中环数的中位数和众数分别为 ， ．
13．（3分）计算：（+）÷（）＝ ．
14．（3分）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为AB的中点，沿AE将△AEB翻折得到△AFE，sin∠FCE＝ ．
15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c图象如图，下列结论中正确的是 （填序号即可）
①b+3a＝0；②不等式ax2+bx+c＞2的解为0＜x＜3；③a﹣b+2＜0；④a＞﹣．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝2，∠BAC的外角平分线交BC延长线于点E，BD⊥AE于D，若AE＝AC，则AD的长为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b）
18．（8分）已知：如图，点E、C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
19．（8分）某公司随机选取40名员工进行普法知识考查，对考查成绩进行统计（成绩均为整数，满分100分），并依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计表．解答下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）该公司共有员工3000人，若考查成绩80分以上（不含80分）为优秀，试估计该公司员工“六五”普法知识知晓程度达到优秀的人数．
20．（8分）如图，在下列10×10的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（3，0），B（4，3）都是格点．将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△COD（点A，B的对应点分别为点C，D）．
（1）作出△COD；
（2）下面仅用无刻度的直尺画△AOD的内心I，操作如下：
第一步：在x轴上找一格点E，连接DE，使OE＝OD；
第二步：在DE上找一点F，连接OF，使OF平分∠AOD；
第三步：找格点G，得到正方形OAGC，连接AC，则AC与OF的交点I是△OAD的内心．
请你按步骤完成作图，并直接写出E，F，I三点的坐标．
21．（8分）如图，AC为⊙O的直径，AB＝BD，BD交AC于F，BE∥AD交AC的延长线于E点
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若AF＝4CF，求tan∠E．
22．（10分）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg）销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①y与x满足一次函数关系，且当x＝32时，y＝39；x＝40时，y＝35．②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）y与x的关系式为 ；
（2）当34≤x≤50时，求第几天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若在当天销售价格的基础上涨a元/kg（0＜a＜10），在第31天至42天销售利润最大值为6250元，求a的值．
23．（10分）在等腰Rt△ABC中，CA＝BA，∠CAB＝90°，点M是AB上一点．
（1）点N为BC上一点，满足∠CNM＝∠ANB．
①如图1，求证：；
②如图2，若点M是AB的中点，连接CM，求的值；
（2）如图3，点P为射线CA（除点C外）上一个动点，直线PM交射线CB于点D，若AM＝1，BM＝2，直接写出△CPD的面积的最小值为 ．
24．（12分）抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
2021年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数﹣2的负倒数是（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
【分析】直接利用负倒数的定义得出答案．
【解答】解：实数﹣2的负倒数是：．
故选：A．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≥﹣1C．x≥1D．x≤﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【解答】解：由题意知2x﹣2≥0，
解得x≥1，
故选：C．
3．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．从装有2个红球、2个黄球的袋中摸出3个球，至少有一个红球
B．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
C．任意画一个三角形，其内角和是360°
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、从装有2个红球、2个黄球的袋中摸出3个球，至少有一个红球，是必然事件，故此选项错误；
B、通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰，是必然事件，故此选项错误；
C、任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件，故此选项错误；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，是随机事件，故此选项正确．
故选：D．
4．（3分）下列医护图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
5．（3分）如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形．
故选：A．
6．（3分）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】确定剩下的三边长包含的基本事件，剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形的基本事件，即可求出能构成三角形的概率．
【解答】解：剩下的三边长包含的基本事件为：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个；
设事件B＝“剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“
则事件B包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，
故p（A）＝
故选：A．
7．（3分）在反比例函数y＝图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m＜C．m≥D．m≤
【分析】首先根据当x1＜0＜x2时，有y1＜y2则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断1﹣3m的取值范围．
【解答】解：∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，
∴反比例函数图象在第一，三象限，
∴1﹣3m＞0，
解得：m＜．
故选：B．
8．（3分）如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车共行驶了120千米；
②汽车在行驶途中停留了0.5小时；
③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/时；
④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少．
其中正确的说法共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据图象上的特殊点的实际意义即可作出判断．
【解答】解：由图象可知，汽车走到距离出发点120千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶了240千米，①错；
从1.5时开始到2时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了2﹣1.5＝0.5小时，②对；
汽车用4.5小时走了240千米，平均速度为：240÷4.5＝千米/时，③错．
汽车自出发后3小时至4.5小时，图象是直线形式，说明是在匀速前进，④错．
故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆半径为（ ）
A．7B．7C．D．
【分析】设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，根据三角形内心定义可得S△ABC＝lr＝20×＝AB•CD，可得bc＝40，根据勾股定理可得BC＝a＝7，再根据I是△ABC内心，可得IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC＝120°，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OB的长．
【解答】解：如图，设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，
在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，
设AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∵∠BAC＝60°，
∴AD＝b，
CD＝AC•sin60°＝b，
∴BD＝AB﹣AD＝c﹣b，
∵△ABC周长为l＝20，△ABC的内切圆半径为r＝，
∴S△ABC＝lr＝20×＝AB•CD，
∴20＝b•c，
∴bc＝40，
在Rt△BDC中，根据勾股定理，得
BC2＝BD2+CD2，
即a2＝（c﹣b）2+（b）2，
整理得：a2＝c2+b2﹣bc，
∵a+b+c＝20，
∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，
解得a＝7，
∴BC＝a＝7，
∵I是△ABC内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°，
∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝，∠BOE＝60°，
∴OB＝＝÷＝．
故选：D．
10．（3分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…第n个三角形数记为an，计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，此推算，a100﹣a99＝（ ）
A．99B．1C．101D．100
【分析】根据题目中的数据，可以计算出a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3的值，即可发现相邻两项差的结果的变化特点，从而可以得到的a100﹣a99的值．
【解答】解：由题意可得，
a2﹣a1＝3﹣1＝2，
a3﹣a2＝6﹣3＝3，
a4﹣a3＝10﹣6＝4，
a5﹣a4＝15﹣10＝5，
…，
故a100﹣a99＝100，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ 7 ．
【分析】根据算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：＝＝7．
故答案是：7．
12．（3分）一个射手连续射靶22次，其中3次射中10环，7次射中9环，9次射中8环，3次射中7环．则射中环数的中位数和众数分别为 8环 ， 8环 ．
【分析】根据中位数和众数的概念求解即可．
【解答】解：∵共有22个数据，其中位数是第11、12个数据的平均数，而第11、12个数据分别为8环、8环，
∴射中环数的中位数为＝8（环），
∵这组数据中8环次数最多，
∴众数为8环，
故答案为：8环，8环．
13．（3分）计算：（+）÷（）＝ ﹣ ．
【分析】先计算括号内分式的加法、将除法转化为乘法，再约分即可．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•
＝﹣．
故答案为：﹣．
14．（3分）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为AB的中点，沿AE将△AEB翻折得到△AFE，sin∠FCE＝ ．
【分析】过E作EH⊥CF于H，由折叠的性质得BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，由点E是BC的中点，得到CE＝BE，得到△EFC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到∠FEH＝∠CEH，推出△ABE∽△EHC，求得EH，进一步利用三角函数的意义求得答案即可．
【解答】解：如图，
过E作EH⊥CF于H，
由折叠的性质得：BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE＝3，
∴EF＝CE＝3，
∴∠FEH＝∠CEH，
∴∠AEB+∠CEH＝90°，
在矩形ABCD中，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BAE＝∠CEH，∠B＝∠EHC，
∴△ABE∽△EHC，
∴＝，
∵AE＝＝5，
∴EH＝，
∴sin∠ECF＝＝．
故答案为：．
15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c图象如图，下列结论中正确的是 ①②③ （填序号即可）
①b+3a＝0；②不等式ax2+bx+c＞2的解为0＜x＜3；③a﹣b+2＜0；④a＞﹣．
【分析】求得对称轴即可判断①；根据图象即可判断②；由x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，抛物线与y轴的交点为（0，2），c＝2，即可判断③；根据对称轴和a﹣b+2＜0即可判断④．
【解答】解：∵抛物线经过点（0，2），（3，2），
∴对称轴为直线x＝＝，
∴﹣＝，
∴b+3a＝0，所以①正确；
由图象可知，不等式ax2+bx+c＞2的解为0＜x＜3，所以②正确；
∵x＝﹣1，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵抛物线与y轴的交点为（0，2），
∴c＝2，
∴a﹣b+2＜0，所以③正确；
∵b＝﹣3a，a﹣b+2＜0，
∴4a＜﹣2，
∴a＜﹣，所以④错误；
故答案为①②③．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝2，∠BAC的外角平分线交BC延长线于点E，BD⊥AE于D，若AE＝AC，则AD的长为 3 ．
【分析】延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，延长BA至F，根据垂直平分线的性质可得BA＝BG＝8，然后根据等边对等角、角平分线的定义和平行线的判定证出AC∥GB，从而得出∠ACE＝∠GBE，再根据等边对等角和等角对等边可证GB＝GE＝8，最后根据DG+AD＝GEAE即可求出结论．
【解答】解：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，延长BA至F，
∵BD垂直平分AG，
∴BA＝BG＝8，
∠BAG＝∠G
∵∠BAG＝∠EAF，∠BAC的外角平分线交BC延长线于点E，
∴∠EAF＝∠G，∠CAE＝∠EAF，
∴∠G＝∠CAE，
∴AC∥GB，
∴∠ACE＝∠GBE，
∵AE＝AC＝2，
∴∠ACE＝∠E，
∴∠GBE＝∠E，
∴GB＝GE＝8，
∵DG+d＝G﹣AE，
∴2AD＝6，
∴AD＝3．
故答案为3．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b）
【分析】原式第一项利用多项式除以单项式的法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝a2﹣2ab﹣b2﹣（a2﹣b2）
＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2
＝﹣2ab．
18．（8分）已知：如图，点E、C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】先证出BC＝EF，再由平行线的性质证出∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，即可证明△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
19．（8分）某公司随机选取40名员工进行普法知识考查，对考查成绩进行统计（成绩均为整数，满分100分），并依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计表．解答下列问题：
（1）表中a＝ 0.05 ，b＝ 14 ，c＝ 0.35 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）该公司共有员工3000人，若考查成绩80分以上（不含80分）为优秀，试估计该公司员工“六五”普法知识知晓程度达到优秀的人数．
【分析】（1）根据第二组的频数和频率可以计算出本次调查的人数，从而可以求得a、b、c的值；
（2）根据（1）中b的值可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据可以计算出该公司员工“六五”普法知识知晓程度达到优秀的人数．
【解答】解：（1）本次调查的人数为：6÷0.15＝40，
a＝2÷40＝0.05，b＝40﹣2﹣6﹣12﹣6＝14，c＝14÷40＝0.35，
故答案为：0.05，14，0.35；
（2）由（1）知，b＝14，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）3000×（0.30+0.15）＝3000×0.45＝1350（人），
答：该公司员工“六五”普法知识知晓程度达到优秀的有1350人．
20．（8分）如图，在下列10×10的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（3，0），B（4，3）都是格点．将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△COD（点A，B的对应点分别为点C，D）．
（1）作出△COD；
（2）下面仅用无刻度的直尺画△AOD的内心I，操作如下：
第一步：在x轴上找一格点E，连接DE，使OE＝OD；
第二步：在DE上找一点F，连接OF，使OF平分∠AOD；
第三步：找格点G，得到正方形OAGC，连接AC，则AC与OF的交点I是△OAD的内心．
请你按步骤完成作图，并直接写出E，F，I三点的坐标．
【分析】（1）根据要求作图即可
（2）根据要求作图即可
【解答】解：（1）如图所示
（2）如图所示，每格单位长度都为 1，即可得E（5，0），F（4，﹣2），I（2，﹣1）
21．（8分）如图，AC为⊙O的直径，AB＝BD，BD交AC于F，BE∥AD交AC的延长线于E点
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若AF＝4CF，求tan∠E．
【分析】（1）连接CD、OD、BO，延长BO交AD于点G，证△ABO≌△DBO得∠1＝∠ABO，从而得BG⊥AD，即∠1+∠2＝90°，根据∠2＝∠3知∠3+∠1＝90°，得证；
（2）设CF＝x，则AF＝4x、OC＝OB＝AC＝x、OF＝OC﹣CF＝x，证△CDF∽△OBF得＝，从而求得CD＝x、AD＝＝x，由tanE＝tan∠CAD＝可得答案．
【解答】解：（1）如图，连接CD、OD、BO，延长BO交AD于点G，
在△ABO和△DBO中，
∵，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠1＝∠ABO，
∴BG⊥AD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BE∥AD，
∴∠2＝∠3，
∴∠3+∠1＝90°，即OB⊥BE，
∴BE为⊙O的切线；
（2）设CF＝x，则AF＝4x，
∴AC＝5x，OC＝OB＝AC＝x，
∴OF＝OC﹣CF＝x﹣x＝x，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴CD∥BG，
∴△CDF∽△OBF，
∴＝，即＝，
则CD＝x，
∴AD＝＝＝x，
∵BE∥AD，
∴tanE＝tan∠CAD＝＝＝．
22．（10分）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg）销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①y与x满足一次函数关系，且当x＝32时，y＝39；x＝40时，y＝35．②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）y与x的关系式为 y＝﹣x+55 ；
（2）当34≤x≤50时，求第几天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若在当天销售价格的基础上涨a元/kg（0＜a＜10），在第31天至42天销售利润最大值为6250元，求a的值．
【分析】（1）依据题意利用待定系数法，易得出y与x的关系式为：y＝x+55；
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润W（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）要使第31天到第42天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）依题意，当x＝32时，y＝39；x＝40时，y＝35，
设y＝kx+b，
则有，解得，
∴y与x的关系式为：y＝﹣x+55，
故答案为：y＝﹣x+55；
（2）根据题意得，W＝（y﹣18）m＝＝，
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴当34≤x≤50时，W随x的增大而减小，
故当x＝34时，Wmax＝4400元；
（3）根据题意得，W＝（y+a﹣18）m＝，
∵a＜0，抛物线开口向下，
对称轴x＝32+a，
∵0＜a＜10，
∴32＜32+a＜42，
∵31≤x≤42，
∴当x＝32+a时，Wmax＝（a+21）（5a+210）＝（a+42）2＝6250，
解得：a＝8，a＝﹣92（舍），
∴a＝8．
23．（10分）在等腰Rt△ABC中，CA＝BA，∠CAB＝90°，点M是AB上一点．
（1）点N为BC上一点，满足∠CNM＝∠ANB．
①如图1，求证：；
②如图2，若点M是AB的中点，连接CM，求的值；
（2）如图3，点P为射线CA（除点C外）上一个动点，直线PM交射线CB于点D，若AM＝1，BM＝2，直接写出△CPD的面积的最小值为 4 ．
【分析】（1）①证明△CNA∽△BNM，根据相似三角形的性质证明；
②作BH⊥BA交AN的延长线于H，证明△BMN≌△BHN，得到CM＝AH＝AN+NH＝AN+NM，根据相似三角形的性质计算即可；
（2）过点M作直线P′D′与射线CA，CB分别交于点P′，D′，得到当点M是PD中点，△CPD面积的最小，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算．
【解答】（1）①证明：∵CA＝BA，∠CAB＝90°，
∴∠C＝∠B＝45°，
∵∠CNM＝∠ANB，
∴∠CNM﹣∠ANM＝∠ANB﹣∠ANM，
∴∠ANC＝∠BNM，
∴△CNA∽△BNM，
∴，
∵CA＝BA，
∴；
②解：如图2，作BH⊥BA交AN的延长线于H，
在△BMN和△BHN中，
，
∴△BMN≌△BHN（ASA），
∴BM＝BH，且AC＝AB，∠CAB＝∠ABH，
∴△ACM≌△BAH（SAS），
∴CM＝AH＝AN+NH＝AN+NM，
由①△CNA∽△BNM，点M是AB的中点，
∴＝2，
∴；
（2）如图3，设点M是PD中点，过点M作直线P′D′与射线CA，CB分别交于点P′，D′，
则点M不是P′D′的中点，当MD′＞MP′时，在MD′上截取ME＝MP′，连接DE，
则△MPP′≌△MDE，
∴S△P′CD′＞S四边形P′CDE＝S△PCD，
当 MD′＜MP′时，同理可得，S△P′CD′＞S△PCD，
∴当点M是PD中点，△CPD面积的最小．
如图4，作DH⊥AB于H，
则△DHM≌△PAM．
∴AM＝1，MH＝1，BH＝1，
∴△MDB是等腰直角三角形，
∴DH＝BH＝AP＝1，∠PDC＝90°，
∴△PCD是等腰直角三角形，CP＝3+1＝4，
∴△PCD的面积＝4，
故答案为4，
24．（12分）抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；②根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标；
（2）根据待定系数法，可得E、F点的坐标，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：（1）①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y＝ax2+c，得
，解得，
抛物线的解析式为y＝x2﹣；
②如图1，
当点D在OP左侧时，
由∠DPO＝∠POB，得
DP∥OB，
D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），
得D（﹣1，﹣3）；
当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G．
作PH⊥OB于点H，则OH＝1，PH＝3．
∵∠DPO＝∠POB，
∴PG＝OG．
设OG＝x，则PG＝x，HG＝x﹣1．
在Rt△PGH中，由x2＝（x﹣1）2+32，得x＝5．
∴点G（5，0）．
∴直线PG的解析式为y＝x﹣
解方程组得，．
∵P（1，﹣3），
∴D（，﹣）．
∴点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（，﹣）．
（2）点P运动时，是定值，定值为2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），则at2+c＝0，c＝﹣at2．
∵PQ∥OF，
∴，
∴OF＝＝﹣＝＝amt+at2．
同理OE＝﹣amt+at2．
∴OE+OF＝2at2＝﹣2c＝2OC．
∴＝2．
组别
分数段/分
频数/人数
频率
1
50.5～60.5
2
a
2
60.5～70.5
6
0.15
3
70.5～80.5
b
c
4
80.5～90.5
12
0.30
5
90.5～100.5
6
0.15
合计
40
1.00
组别
分数段/分
频数/人数
频率
1
50.5～60.5
2
a
2
60.5～70.5
6
0.15
3
70.5～80.5
b
c
4
80.5～90.5
12
0.30
5
90.5～100.5
6
0.15
合计
40
1.00