试卷 中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型

这是一份试卷 中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型，共9页。试卷主要包含了①，同理可证，如图①，求等内容，欢迎下载使用。
8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．    结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．模型分析证法一：∵∠AOB是△AOD的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB是△BOC的外角，∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．证法二： ∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD．∵∠B＋∠C＋∠BOC＝180°，∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型．（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；             解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD．∵∠BOC是△BOE的外角，∴∠B＋∠E＝∠BOC．∵∠BOC是△COD的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC．∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°． 解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE的外角，∴∠1＝∠C＋∠E．∵∠2是△GBD的外角，∴∠2＝∠B＋∠D．∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°． （2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．       （2）解法一：如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP是△AOB的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOP．∵∠AOP是△OPQ的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．②  ，∠E＋∠F＝∠2＋∠3．③由①＋②＋③得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE．∵∠AOE是△AOB的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOE．∵∠AOE是△OED的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的8字模型）∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝360°．（四边形内角和为360°）练习：1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝             ；解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180°解法二：（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝             ．解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D，又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝180°解法二：2．如图，求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝             ．       解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，
∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360° 解法二：模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．   模型分析解法一：如图①，作射线AD．∵∠3是△ABD的外角，∴∠3＝∠B＋∠1，∵∠4是△ACD的外角，∴∠4＝∠C＋∠2∴∠BDC＝∠3＋∠4，∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C解法二：如图②，连接BC．∵∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－（∠2＋∠4）∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4）∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3.（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用．模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M，探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．解答：利用角的飞镖模型如图所示，连接DM并延长．∵∠3是△AMD的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM，∵∠4是△CMD的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM，∵∠AMC＝∠3＋∠4∴∠AMC＝∠1＋∠ADM＋∠CDM＋∠2，∴∠AMC＝∠1＋∠2＋∠ADC．（角的飞镖模型）∵AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，∴，，∴，∴（四边形内角和360°），∴，∴2∠AMC＋∠B－∠ADC＝360°.   练习：1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=        .【答案】230°提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=         .【答案】220°提示：如图所示，连接BD.∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C，∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º 模型3  边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论AC+BD>AD+BC．    模型分析   ∵OA+OD>AD①， OB+OC>BC②， 由①+②得：  OA+OD+OB+OC>BC+AD  即：AC+BD>AD+BC. 模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD；  (2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.证明：(1)∵AB+BC>AC①， CD+AD>AC②， AB+AD>BD③， BC+CD> BD④  由①+②+③+④得： 2 (AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD).   即AB+BC+CD+AD >AC+BD.(2) ∵AD<OA+OD① ，BC<OB+OC②， 由①+②得： AD+BC< OA+OD+OB+OC．   ∴AD+BC<AC+BD.（边的8字模型）， 同理可证：AB+CD <AC+BD.   ∴AB+BC+CD+AD< 2AC+2BD. 模型4  边的飞镖模型 如图所示有结论：AB+AC> BD+CD.模型分析如图，延长BD交AC于点E。∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+A C>BE+EC.①  ，∵BE+EC=BD+DE+EC，  DE+EC> CD，∴BE+EC>BD+CD. ② ，由①②可得：AB+AC>BD+CD. 模型实例如图，点O为三角形内部一点．求证：(1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC；(2) AB+BC+AC>AO+BO+CO.证明：(1)∵OA+OB>AB①， OB+OC>BC②， OC+OA>AC③      由①+②+③得： 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC (2)如图，延长BO交AC于点E，    ∵AB+AC=AB+AE+EC， AB+AE>BE， ∴AB+AC>BE+EC. ①    ∵BE+EC=BO+OE+EC，  OE+EC>CO，∴BE+EC>BO+CO，②    由①②可得： AB+AC>BO+CO.③（边的飞镖模型）    同理可得： AB+BC>OA+OC.④  ，BC+AC>OA+OB.⑤    由③+④+⑤得： 2 (AB+BC+AC)>2 (AO+BO+CO).  即 AB+BC+AC>AO+BO+CO. 1．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。求证：AB+AC>AD+AE.      【答案】证法一：如图①，将AC平移至BF，AD延长线与BF相交于点G，连接DF。由平移可得AC=BF ，∵AC∥BF ，∴∠ACE=∠BFD ，∵BD=CE∴△AEC≌△FDB ，∴DF=AE如图，延长AD交BF于点G，∵AB+BF=AB+BG+GF.  ∵AB+BG>AG，∴AB+BF>AG+GF① ，∵AG+GF=AD+DG+GF， ∵DG+GF>DF，∴AG+GF>AD+DF② ，由①②可得：AB+BF>AD+DF.（飞镖模型）∴AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE. ∴AB+AC>AD+AE.证法二：如图②，将AC平移至DF，连接BF ，则AC=DF ，∵AC∥DF，∴∠ACE=∠FDB.∵BD=CE，∴△AEC≌△FBD. ∴BF=AE. ∵OA+OD>AD①，  OB+OF>BF②由①+②得：OA+OD+OB+OF>BF+AD. ∴AB+DF>BF+AD.（8字模型）∴AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+AD. ∴AB+AC>AD+AE.2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．(1)如图①，△ABC中，P为边BC一点，请比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②，将(1)中的点P移至△ABC内，请比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．(3)图③将(2)中的点P变为两个点、，请比较四边形的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由.【答案】（1）如图①，BP+PC<AB+AC.理由：三角形两边之和大于第三边。（或两点之间线段最短）（2）△BPC的周长小于△ABC的周长。证明：如图②，延长BP交AC于M。在△ABM中，BP+PM<AB+AM①在△PMC中，PC<PM+MC② ，由①+②得：BP+PC<AB+AC.∴△BPC的周长小于△ABC的周长。（3）四边形的周长小于△ABC的周长。证法一：如图③，分别延长、交于M，由（2）知，BM+CM<AB+AC.又∵<，∴++<BM+CM<AB+AC.∴四边形的周长小于△ABC的周长.   证法二：如图④，做直线分别交AB、AC于M、N。在△BM中，<BM+①在△AMN中，++<AM+AN② ，在△中，<+NC③由①+②+③得：∴++<AB+AC. ∴四边形的周长小于△ABC的周长.