试卷 专题5《等分图形面积》

专题5《等分图形面积》

破解策略

等分图形面积的过程中，常用等积变换法，等积变换的基本图形为：

如图，，点在上，点B，C在上，则．

图形等分面积的常见类型有：

（1）已知：△ABC．

作法：作中线AD．

   结论：直线AD平分△ABC的面积．

（2）已知：平行四边形ABCD．

作法：过对角线交点O作直线．

   结论：过点O的直线平分平行四边形ABCD的面积．

（3）已知：梯形ABCD，AD∥BC．

作法：过中位线EF中点O（或上、下底边中点连线HG的中点O）作直线，且与上、下底均相交．

结论：过点O且与上、下底均相交的直线平分梯形ABCD的面积．

（4）已知：△ABC，P为AC边上的定点．

作法：作△ABC的中线AD，连结PD，过点A作AE∥PD，交BC于点E．

结论：直线PE平分△ABC面积．

（5）已知：四边形ABCD．

作法：连结AC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，连结AE，作△ABE的中线AF．

   结论：直线AF平分平行四边形ABCD的面积．

（6）已知：四边形ABCD，点P为AD上的定点．

作法：连结PB，PC．作AE∥PB，DF∥PC，分别交直线BC于点E，F，连结PE，PF，作△PEF的中线PG．

   结论：直线PG平分四边形ABCD的面积．

（7）已知：五边形ABCDE．

作法：连结AC，AD，作BF∥AC，EG∥AD，分别交直线CD于点F，G，连结AF，AG，作△AFG的中线AH．

结论：直线AH平分五边形ABCDE的面积．

进阶训练

1．如图，已知五边形ABOCD各定点坐标为A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2），请你构造一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD平分为面积相等的两部分，并求出该直线的表达式．

答：如图：

直线的表达式为．

【提示】 连结AO，作BM∥AO交x轴于点M，连结AC，作DN∥AC交x轴于点N，取MN中点F，则直线AF将五边形ABOCD分为面积相等的两部分．作AH⊥x轴于点H，则△BMO∽△AOH，可得点M的坐标．同理可得点N的坐标．从而求得点F的坐标．确定直线AF的表达式．

2．过四边形ABCD的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD的面积分成1：2的两部分．

答：如图：

【提示】 连结AC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，取BE的一个三等分点F或G，则直线AF或AG即为所求．

3．设w是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与w的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为w的“化方”．

（1）阅读填空

如图1，已知矩形ABCD，延长AD到点E，使DE＝DC，以AE为直径作半圆，延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．

理由：连结AH，EH．

因为AE为直径，所以∠AHE＝90°，

所以∠HAE＋∠HEA＝90°．

因为DH⊥AE，所以∠ADH＝∠EDH＝90°．

所以∠AHD＝∠HED，所以△ADH∽          ．

所以，即

因为DE＝DC，

所以＝         ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积

（2）操作实践

平行四边形的“化方”思路是：先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．

如图2，请作出与平行四边形ABCD等积的正方形（不要求写出具体作法，保留作图痕迹）．

（3）解决问题

三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的         （填写图形名称），再转化为等积的正方形．

如图3，△ABC的顶点再正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．

3．（1）△HDE；AD·DC；

（2）作图如下：

（3）矩形；作图如下：

（4）作图如下：

【提示】（2）作法：①分别过点A，D作直线BC的垂线，垂足分别为；

②延长AD至点E，使得；

③以AE为直径作半圆；

④延长交半圆于点H；

⑤以DH为边向右作正方形DFGH．

则正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．

（3）作法：

①作△ABC的中位线MN；

②分别过点B，C作MN的垂线，垂足分别为E，D；

③延长BC至点F，使得CF＝CD；

④以BF为直径作半圆；

⑤延长DC交半圆于点G；

⑥以CG为边向右作正方形CGHI．

则正方形CGHI与△ABC等积．

（4）作法：

①连结BD，过点A作AE∥BD交CD的延长线于点E；

②作△EBC的中位线MN；

③分别过点B，C作MN的垂线，垂足分别为F，G；

④延长BC至点H使得CH＝CG；

⑤以BH为直径作半圆；

⑥延长GC交半圆于点I；

⑦以CI为边向右作正方形CIJK．

则正方形CIJK与四边形ABCD等积．

（4）拓展探究

n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把村边形转化，为等积的”1边形．…一直至转化为等积的三角形，从而实现化方．

如图4，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形 ABCD等积的正方形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作圈）